基于Monte Carlo法的结构动力学模型确认

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Structural dynamics model validation based on monte carlo methodCHEN Zhi-guo，DENG Zhong-rain，BI Si ng(Beijing University of Aeronautics＆Astronautics，Beijing 100019，China)Abstract： A statistical method based on Monte Carlo simulation(MCS)and multiple regression analysis waspresented for FEM model validation.An agent model created by response surface method was used to improve the directMCS for guaranteeing the accuracy of model validation.The traditional Euclidean and Mahalanobis Distances，whichdescribe the distance between two points from different aspects，were summed up to be both considered in the uncertaintyquantification SO that might be more comprehensive.In the process of correlation analysis，the synthesized distances wereused as the correlation measure and the iteration convergence judgment criteria based on these two distance were provided。

Simulation results show that the presented method as well as the distance criterion can greatly reduce the time consumingin calculation，get satisfactory results of model validation，provide a more stable approximation process and enhance theaccuracy of the result。

Key words：model validation；uncertainty quantification；distance discriminant analysis；Monte Carlo simulation；response surface method由于诸多不确定性因素的存在，飞行器结构的动力学有限元仿真结果与试验数据相比总存在着较大差异 ，上世纪90年代末提出了结构动力学有限元模型确认的总体技术路线 ，包括参数过滤、误差定位、不确定量化与传递、特征提娶相关性分析以及参数修正在 内的多 个技 术 要点都 成为近几年 的研究热 点问题 。

蒙特卡洛模拟(MCS)以其程序简单、可以达到高精度的特点，被认为是用于随机性分析的有 力工具 j。但蒙特卡洛模拟计算量过大的问题成为其应用的主要障碍。响应面法 则是利用在输入变量空问中若干选定的样本点处的函数响应计算值或试验值，用回归分析法建立拟合的函数关系式，建立代理模型。响应面法在动力学模型确认中的引人，使得蒙特卡洛模拟(MCS)在模型确认中的大范围使用成为可能 。

本文提出了-种 MCS与多元回归分析相结合的有限元模型确认方法和的代理模型改进直接蒙特卡洛法，-种适用于此方法的欧氏马氏距离相结合的距离模式。用基于响应面法生成以减少模型确认的计算量；同时运用逐步迭代的方式改进代理模型以保证模型最终确认结果的精度。采用的距离模式融合了欧氏马氏距离的优势，进-步保证模型确认的快速稳定。

基金项日：国家自然科学基金(10972019)；北航研究生创新实践基金 1 理论与方法收稿 日期：2012-06-06 修改稿收到日期：2012-09-21第 -作者 陈志国 男，硕 I：生，1987年 1月生第 l6期 陈志国等：基于 Monte Carlo法的结构动力学模型确认 771.1 蒙特卡洛模拟和响应面法MCS中随机抽样得到的服从-定概率分布的随机输入变量可以用于描述对应输出响应变量不确定性。

经过每-次有限元分析，得到-对输入/输出变量。对于每-个输出响应变量进行-次相关性分析，用以定量描述输出响应矩阵的相似程度 J。

为了减少 MCS的计算量，引入二次多项式的响应面函数 ：P P i-1 P多卢。∑ ∑∑卢 ∑ (1)其中系数 的个数为：： (2)则考虑q个输出变量的向量形式的响应面为：： BY (3) Lj式中系数矩阵 通过-种多元回归分析得到。

1.2 系统不确定性和参数估计结构的动力学分析模型可以描述为输入与输出变量间的-种非线性函数关系式：Y ) (4)每-个输入变量的变化 都会在输出变量上表现出来 △y 。经过 m次试验观测，可以得到所有 q个输出变量的输出响应矩阵：Yob [Y1 Y2 3 Y ]Y ：[Y1 Y2 Y3 Y ] ，i1，2，3， ，q (5)试验观测的输出均值向量可以表示为：- 1 TY Lyl Y2 Y3 Yq J 。

[1，l，，1] 。 e (6)1.3 多元回归分析不同于文献[10]的线性近似模型，本文采用基于二次多项式的非线性响应面模型，考虑输出变量间的相关性，目的是为蒙特卡洛法提供简单快速 的计算模型。

假设输出Y的最小二乘估计为 ，则第 i个输出变量的响应面函数为：多 (7)式中：Y i LYli Y 2i ] ∈ ； J [ 卢 。 卢： ]∈Ow ； [ z n] ∈ ； f8)l 1 xl(k) X2(k)-"Xl(k)X2(k) Xl(k)X3(k)X l(k)2 2 ]T ."×1x2(k) p( )J ∈ 缈 ；i： 1，2， ，q，k 1，2， ，n矩阵 称为导数矩阵。对导数矩阵 进行 QR分解 ：： Q ：[Q Q：]瓜 1：Q R (9)式中Q∈ 是正交矩阵，R∈ 为上三角矩阵。对Q按列分块，足按行分块后，Q ∈ ，Q ∈ - ，Rl∈ ”。

对于第 i个输出变量 Y 在响应空间 中的坐标 ∞可以通过坐标变换得到： dy [ ：[ ][： ]c 。，在平面 上的投影可以方便的表示为 1～其进行坐标变换，回到原先的坐标系：多 ：Q 1：[Q Q：]∞ 1：Q 。(11)由式(7)、式(9)及式(11)可得： R ∞ (12)即得到式(3)中的系数矩阵 [ 卢： 。· r。

1.4 确认准则在相关性分析中，可以选择多种衡量指标判断仿真模型分析结果与实际模型是否-致。经常用到的-种衡量指标是欧氏距离：d (Y ，y。b )[(Y -Y) (Y -Y)]丁 (13)另-种衡量指标马氏距离的计算表达式为：d ( ，Y)[(Y -Y) - (Y - )]丁 (14)其中∑为协方差矩阵选取试验输出变量矩阵 yn 或模拟输出变量矩阵 i 计算，Y∈ ，∑∈ 见式(6)。

为更好地衡量试验输出和分析模型输出间的相互关系，本文还采用了另-种相关性分析指标：在迭代确认过程中同时用欧氏距离和马氏距离作为相关性分析指标来选取优质小样本中的点，这些小样本中的点在空间位形和距离上是最接近试验输入输出的，其它仅满足欧氏/马氏距离的点被认为在接近程度上有所偏离。为方便文中用 M-E表示此距离方式，此指标可用如下公式表示：AY l d伽(Y ，Y)满足选优条件A n A ；A Y I d (Y ，y)满足选优条件，A Y J dM(J， ，Y)满足选优条件 (15)注：式(15)中 /A。/A：为优质小样本集合。

1.5 随机性确认的逻辑流程随机性确认逻辑流程如图 1所示，在大规模 MCS后将得到的输出结果 y 与多次试验得到试验输出变量 y。 用欧氏距离/马氏距离/M-E距离进行分析，选揉离试验输出均值最近的点形成优质小样本；最后用收敛条件判断是否收敛。

78 振 动 与 冲 击 2013年第32卷在每次迭代中，都应用-固定的比例因子选取确认准则下的优质小样本 -缩进因子6：为优种率，则 P。 表示 了真实优质种子数目Ⅳ。 占预测优质种子数目N 的百分比。

(16) 2 算例分析与讨论式中：Ⅳ为总样本容量， 为保留的优质样本的容量。

缩进因子6值越小，优质小样本容量越小，输出变量向试验输出均值逼近的速度越快。

图 1 模型确认流程图Fig.1 Flow chart of the iteratlve logic当用 M-E距离模式作为衡量指标时得到容量为N。 的优种样本，若定 P ：P NGS(17)2.1 模型描述如图2，某飞行器有限元简化模型，内部仪器和推进系统作为挂载是可测已知量，加载在飞行器结构框其余部分为均厚度板。三个不确定的输入变量为合金架上。模型由-种合金材料构成，包含 1 124个节点，1 178个单元。飞行器底部适配器为均匀变厚度圆锥筒，材料的弹性模量、密度P以及部分板厚度图2 某飞行器有限元模型Fig.2 A finite elementmodel of a aircrMt，结构的前四阶固有频率为试验输出结果。

2.2 结果分析结构的动力学试验结果同样由MSC.Nastran模拟得到。试验系统的额定输入数值为：E0.7×10 Pa，P：2.7×10 kg/m ，T2.0×10～m。以试验系统额定输入值为均值，变异系数为 0.1生成正态分布随机数，进行 50次计算模拟输出变量的试验测量样本 l，假定待确认的有限元模型的初始输入参数 服从正态分布，均值为： ：1.0×10Pa， 。4.0×10kg/m ，/x7、3.0×10 m，变异系数：01：02030.1。

计算中小规模 MCS与大规模 MCS次数分别为 100与10 000，数据是由Matlab生成的正态分布随机数。

随机性确认的结果如表 l、2所示，表中的第-列括号中为所用距离准则和缩进因子 。

相关陛分析过程中采用不同的衡量指标得到了不同的结果。图3列出了试验模型与各确认后模型的MAC矩阵图。表 1、2列出了真实系统、初始模型及各确认后模型的各待确认参数和1～8阶固有频率数值及误差。

表1 不同准则下输入变量的确认结果(括号中为相对于均值的误差率%)Tab.1 The validation results of input variables with diferent metrics(% errors in parenthesis 180 振 动 与 冲 击 2013年第 32卷得到的输出变量结果精度最差，用模拟输出矩阵 y计算马氏距离得到的精度较高，欧氏距离和 M-E距离模式的精度误差最高，都在 0.05%左右。

由上述结果分析：基于固有频率灵敏度的修正结果导致输入变量与真实值差距较大的原因是：在输入变量从[1.0，3.092，3.575]向真实值[0.699，2.637，4.0]的变化过程中固有频率变化很小，因而也无法用灵敏度法求出输人的变化趋势，导致输入变量在[1.0，3.092，3.575]处停滞。欧氏距离的输入变量确认结果真实值较大的原因也与此有关〖虑了样本整体位形影响的马氏距离和 M-E距离模式在输入输出上同时收敛到了真实值附近。以 M～E距离模式为确认准则输入、输出变量都很好的逼近真实值，且精度也有 '厂提高。

由图4可知：① 欧氏距离指标下输入变量收敛缓慢；② 采用模拟结果 计算马氏距离得到的输入变量变化曲线在收敛后在真实值附近有明显的震荡。用试验结果 yIJ 计算得到的输入变量变化曲线均匀，收敛稳定，但偏差较大；③ 用 M-E距离模式作为指标收敛速度较单独的欧氏/马氏距离更快，且 M-E距离模式对用 y计算马氏距离导致的结果收敛 稳定有 r较好的改善、收敛稳定；④ M-E距离模式指标下缩进子放大四倍，收敛速度减缓不明显，基本 与60.05的马氏距离收敛速度相当。

图4 不同指标下输入变量 E 、P与 的变化趋势Fig.4 Inputs nlean value E 、P& T variation tendency with different metrics在此给出厂各准则下第 1阶模态频率的收敛曲线，如图5所示，由图知：① 以欧氏距离为确认准则比马氏距离的输出变量收敛速度快；② 以试验输出 y汁算马氏距离比用 y计算的收敛速度快，收敛更平稳，但误差要大；③ 以 y计算马氏距离，收敛较慢且收敛后会在均值附近出现振荡现象；④ 以M-E距离模式为指标比欧氏马氏距离收敛快、精度高、稳定性好；⑤ M-E距离模式改善了用 l，计算马氏距离的收敛结果不稳定；⑥ M-E距离模式下缩进因子的放大对输出变量的收敛速度影响很校图 5 不同指标下输出变量 的均值变化趋势Fig.5 Mean value variation 0f tendency with diferent metrics由图6可见，随着迭代的进行，采用 M-E距离模式为指标时其优种率 P 也趋于定值。因此，可使用优种率 P 的稳定作为 M-E距离模式下收敛判断的标志。使用优种率 P 作为计算终止标志有如下优点：(1)目标单-、容易判断，省去了对多个输入和输出的计算比较；(2)当优种率稳定时，结果精度也基本达到了此方法的精度极限。

使用优种率 P 来判断收敛比传统的收敛准则更加便捷、好用。

t f / -l： 口-zl、/ - ：d (YI-I-0 z)～ ：fi 'Ysjm，O-O5). .A ： .m - - △--牟-△、，，图6 采用 M-E距离模式优种率P 变化趋势Fig.6 PGs variation tendency with diferent metrics第 16期 陈志国等 ：基于 Monte Carlo法的结构动力学模型确认、[3]短锋 ，马兴瑞，韩增尧，等·结构动力学模型修正的三步j 篓盎 策略及其实践 [J].航空学报 ，2010，31(3)：546-552。

本文提出了-种蒙特卡洛模拟(MCS)与多元回归 。d。l pd thodin tm t v mic d i分析相结合的有限元模型确认方法和-种新的相关性 印plication[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，分析指标。在随机性分析中通过多元回归分析产生代 2010，31(3)：546-552-理模型将模型确认的计算量减 受的水平。。

篙 有限4)：5元模72- 认方法研究时利用迭代方式不断改进代理模型，保证了最终确认 GUO Qi -tao. ZHANG Li g- i. Finit。 。1 m。 t m。del结果的精度♂果表明： validation in structural dynamics[J].Chinese Journal of(1)此随机性模型确认方法较直接 MCS法，在大 Applied Mechnics，2005，22(4)：572-578·大减少计算 的同时可得到较精确的模型确认结果； [ 。薏 卡罗方法[M]·上海：上浩学技术出版社，(2)马氏距离综合考虑了试验输出总体位形分布 [6 1 xi。 g F F，Ch W，Xi。 g Y，et 1.W。ight d t。 hasti情况，可保证输入输出同时快速收敛。使用模拟输出 response surface method considering sample weights[J]。

变量矩阵 . 计算马氏距离的协方差矩阵也可得到较 t.r u and M idi 。iplinary 0p i i 。”，20 ，43：837-好的确认结果； [7]Horta L G， Reaves M C，Buehrle R D，et a1.Finite e1ement(3)采用 M-E距离模式确认结果更加快速、精 m0del calibration for ares I-X flight vehie1e f J].EXP准，各分量误差率更孝更均衡。且改进了使用模拟输 MECH，2011，51：1251-1263·出变量矩阵，s 计算马氏距离的收敛不稳定性，使其结 三。： Z M id.砒Ai。 St[ocJh]a.sti ：果更加可信。 Materia1s，2012，141：162-167 ～