机床滚转角测量中敏感元件倾斜引起的误差分析

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M easurement Error Analysis for M achine Tool Roll Error M easurementDue to Inclined Half W ave PlateZHONG Lihong ，WANG Zhao ，TANG Shanzhi ，GAO Jianmin ，GUO Junjie。

(1.School of Mechanical Engineering，Xian Jiaotong University，Xian 710049，China；2.State Key Laboratory forManufactu rjng Systems Engineering，Xian Jiaotong University，Xian 710049，China；3.Shaanxi Hengtong Intelligent Machines Co.，Ltd.，Xian 710049，China)Abstract：To evaluate the influence of motion error of machine tOOl，such as pitch and yaw，onthe roll error measurement，a mathematical model was established，then the conversion processof the lasers through the measurement system was calculated by Jones matrix method andmeasurement formula between the phase and the rol1 error was ultimately derived. Themeasurement error caused by angular motion error of the sensitive component，ie the half waveplate，was analyzed theoretically following polarization and crystal optics theory. Results showthat the measurement error gets less than 0.1 which illustrates the feasibility of the method forroll error measurement by orthogonally polarized lasers。

Keywords： roll error；half wave plate；motion error；measurement error现代工业的快速发展，对机床的加工精度提出了越来越高的要求 ，而提高机床加工精度 的-个重要途径就是对机床进行误差补偿 ，实现机床的软升级 。由于对误差进行补偿需要先对误差进行测量 ，因此作为误差补偿技术的条件，精确测量机床的各项误差是 十分重要 的。激光干涉仪 法具有非接触性 、高分辨率Ⅲ、高精度和快速测量等优点 ，因此被广泛用 于机床 的几何误差测量 。利 用激光干涉仪可精确测量机床除滚转角误差之外的多项几何误差，而机床滚转角误差由于角位移方向垂直于测量收稿日期：2012-09-17。 作者简介：钟丽红(1987-)，女，硕士生；王昭(通信作者)，女 ，教授，博士生导师。 基金项 目：国家科技重大专项资助项 目(2O12ZXO4OO3O71)。

网络出版时间：2013-03-15 网络出版地址：http：7/ww.enki.net/kcras/detail/61.1069.T.20130315.1137.009.html西 安 交 通 大 学 学 报 第 47卷光线，因此采用传统的激光干涉仪难以测量。国内外许多专家学者对机床滚转角的测量进行了研究，提出了激光准直法[4-5、光栅测量法6 和偏振法7 ]等测量方法。但是 ，由于操作环境、测量精度及测量可靠性等问题，在实际应用中滚转角的测量依然是个难题。偏振法是 目前较为有效的-种方法，该方法将光路中的偏振元件作为探测器，利用偏振元件的旋转 ，引起通过它的偏振光光强、相位或频差的变化 ，通过检测测量信号光强[7 ]、相位[g 1]或频 率的变化口 来实现滚转角测量。基于此原理，文献[9]提 出了利用检偏器作为传感器进行滚转角测量的测量系统。文献[1O]对该系统进行了改进，增加了-个 1/2波片，并用 1/2波片作为传感器，利用直角棱镜使测量光线 2次通过 1/z波片。对比文献[9]与文献E1o]中的测量公式可以看出，利用直角棱镜使测量光线 2次通过 1/2波片 ，滚转角被放大了 4倍 ，提高了测量灵敏度，但在实际测量中，安装精度及机床其他误差因素对测量结果的影响程度尚不明确 。

本文基于文献[10]中的测量方案，利用琼斯矩阵计算建立了相应的数学模型，针对敏感元件 1/2波片，重点分析了机床部件运动产生的俯仰、偏摆运动误差对测量结果的影响 。鉴于偏振光的变换均可用琼斯矩阵进行推导计算 ，因此本文的误差分析方法具有较好的推广性，对于基于正交偏振光变换原理的测量方案均适用 。

1 滚转角测量1.1 测量原理机床部件沿导轨运动时共有 6项运动误差 ，如图 1所示 。本文 的测 量对象 为滚转误差 ，测量 方案[1。。如图2所示。激光器发出的正交线偏振光被分光镜分成 2束 ，即透射光和反射光 ，其中反射光为参考光，透射光为测量光。1/2波片为敏感元件，它固结在机床部件上并随之-起运动，当机床部件发生滚转角误差时 ，会使 1/2波片滚转相同角度 ，引起浦舶 运动8 (z)、8 (z)、&(z)：分别为物体沿 x、Y、z轴的平移误差；e (z)、Ev(z)、。(z)：分别为物体沿 x、Y、Z轴的角位移误差，又分别称为俯仰误差、偏摆误差和滚转误差图 1 机床部件沿导轨运动时的运动误差示意图检偏器 曩-l'. 。

朗 ㈩Fcos0 ·--sin07R( )- l l (2) LsinO cos0 -J㈤ - -sir1R slna -巴e： ] (a)-I. ； J2( h)I IL - LJ h.J-COSmOt inaP -巴：] ㈣http：∥ http./zkxb.xjtu.edu.cn第 5期 钟丽红，等：机床滚转角测量中敏感元件倾斜引起的误差分析 1O1达式 ，进而得到测量信号相位与滚转角的关系。

在理想情况下，光线垂直入射到 1/2波片时，波片相位延迟量为理想值，即 - ，乱-7c，此时可厶得到测量信号的相位变化量为△ - arctan(tan0tan2na) arctan(cotOtan2na)(8)式中： 为光线通过 1/2波片的次数。当 较小时 ，式(8)可进-步近似为△ - 2n(tanO cotO)a (9)设k0- 2n(tan0 cotO) (10)得到测量系统的测量公式口- A/ko (11)2 测量相对误差分析根据式(7)可知，测量光的相位除受到 a影响之外 ，还受到 、 、 和 n的影响 ，而 3。、 又受 到环境温度 、湿度 、光线入射到波片的入射角和波片厚度等因素的影响。由于本文主要分析 1/2波片倾斜所引起的误差，因此取其余参数为理想值。假设在环境温度、湿度保持不变的条件下，取 -2。， -旦9。

2.1 公式近似引起的测量相对误差由式(9)对式(8)做近似带来 的测量相对误差为e -O--- 20× 100 (12)2O式中：a。是滚转角的实际值。当给定-个 a。时，可按式(9)计算得到 △ 值，再由式 (11)计算得到 a。

由图 3给出的误差 曲线可见 ，由公式近似 引起 的测量相对误差小于 0，测量相对误差绝对值随 、a绝对值的增大而增大 ，a在 ±0.004。范 围内，由公式近似引起 的测量相对误差的绝对值小于 0.02 。

图3 由公式近似引起的测量误差曲线2.2 1/2波片偏摆误差引起的测量相对误差将 1/2波片固结在机床部件上，并随机床部件- 起沿机床导轨运动 ，当机储生偏摆误差 时，1/2波片也会产生相 同的偏摆误差 ，此时测量光线 由垂直入射 1/2波片变为倾斜入射 ，引起 112波片矩阵发生变化，进而引起测量误差。具体分析过程如下。

偏摆时 1/2波片正向矩阵为H(ap，3hp)- R(ap)J2( hp)R(- dp) (13)1/2波片负向矩阵为H(- ap， hp)- R(- ap)J2( p)R(d ) (14)- ( 。

-‰) ：a - arcc。 s(c。sa( 滁 ) ) I COS2p -sin2p l ( )- . I L- slnap COS2p JF1 o ]J2(3h )- I ； l--COS 2p ]式中： 为 1/2波 片偏摆时的相位延迟量I1 ；a 为1/2波片偏摆时的滚转角[1 ；i。为 1/2波片偏摆角；、n。为 1/2波片的主折射率，n -1.551 7， -1.542 6； 为入射光波长， -632.8 am。

与理想情况对 比可知 ，1/2波片偏摆 时正 向矩阵与负向矩阵发生变化 ，这将导致测量信号的相位差与滚转角之间的关系不再满足测量式(11)，此时若测量系统仍用式(11)计算会引起误差，可利用式(12)来计算该测量误差。给定 a。，按照式(7)得到从检偏器出射光的表达式 ，其 中 1/2波 片正 向矩 阵与负向矩阵按照式(13)、式(14)计算。根据出射光的表达式进-步求解得到 △ ，再根据式(11)计算得到 a值 ，a相对 a。的误差 即为测量相对误差。误差曲线如图 4所示 ，由 1/2波 片偏摆误差 引起 的测量误差图形类似于抛物线 ，开 口向上 ，测量相对误差曲线随 a。的增大而下移。对比图 4a和图 4b可见，测量相对误差 曲线随光线通过 1/2波片次数的增大而下移 ，在滚转角为 o.004。时 ，由 1/2波片偏摆引起的测量相对误差绝对值小于 0.03 。

2.3 1/2波片俯仰误差引起的测量相对误差将 1/2波片固结在机床部件上沿导轨运动时会产生俯仰误差，此时测量光线由垂直入射 1/2波片变为倾斜入射，引起 1/2波片矩阵发生变化，进而引起测量误差。具体分析如下。

1/2波片正向矩阵H(af， f)- R(af)J2( f)R(- ∞) (15)http./www.jdxb.CFI http：//zkxb.xjtu.edu.ca西 安 交 通 大 学 学 报 第 47卷(b) - 6图 4 由 1/2波片偏摆误差引起的测量误 差1/2波片负向矩阵H(- af hf)- R(- af)J2( hf)R(af) (16)hf- (( ：-sin。if) /。- ( -sin。it) / )a r- arcsin(Sin5 SIn ZfS 1n - - 口g(af)-I -m甜1 . [- sinai cosaf JV1 0 ]J2( JR(- )-r-。 f in ] 口f 1 . 1sinai COSotfJ式中： 为 1/2波 片俯仰时 的相位延迟量I1。 ；a 为1/2波片俯仰时的滚转角 ；i 为 1/2波片俯仰角。

同偏摆时情况相似，由于 1/2波片俯仰时正向矩阵与负向矩阵发生了变化 ，因此引起了测量误差利用式(12)计算带来的测量相对误差曲线如图 5所示。从图 5中可见，由 1/2波片俯仰误差引起的测量相对误差图形类似于抛物线，开口向下，测量相对误差曲线随 a。的增大而下移 。对 比图 5a和图 5b可见，测量相对误差曲线随 的增大而下移，a。在0.004。以内时，由 1/2波片俯仰误差引起的测量相对误差绝对值小于 0.05 。

0- 0- 0- 0- 0- 0- 0(b) 6图 5 由 1/2波 片俯仰误差引起的测量误差3 结 论本文推导出测量光线 次通过 1/2波片时的滚转角测量公式，根据式 (8)可 以看出，光线 T/次通过1/2波片时，可将滚转角放大 2 倍 。因此，在系统非线性倍增的基础上 ，可以通过增大 n，来进-步提高滚转角的放大倍数，以达到较高的测量分辨率及测量精度。由于在测量过程中，由1/2波片偏摆、俯仰等运动引起的测量误差尚不明确，为了论证通过增大 n来提高滚转角测量分辨率方案的可行性，因此本文建立了机床滚转角测量误差分析模型 ，对1/2波片角运动误差对测量误差的影响进行了数值分析仿真，并分别讨论了由公式近似、1/2波片偏摆和1/2波片俯仰引起的测量相对误差 。

通过分析可知 ，由测量公式近似引起 的测量相对误差绝对值小于 0.02 9/6，说明对测量公式的近似是可接受的。通过图 4、图5可知，1/2波片偏摆、俯仰引起的测量相对误差随 的增大而增大，当 n小于 6时，由 1/2波片偏摆引起的测量相对误差绝对值小于 0.03 ，1/2波片俯仰引起 的测量相对误差绝对值小于 0.05 。因此 ，在机床滚转角测量过程中，1/2波片角运动误差对测量精度影响较小，由此论证了方案的可行性 。

http：# http：//zkxb.xjtu.edu.cn屯第 5期 钟丽红，等：机床滚转角测量中敏感元件倾斜引起的误差分析 103