三轴误差对光电经纬仪测角的影响

地平式结构 的经纬仪有三条轴线：垂直轴、水平轴和照准轴，前两条轴线是经纬仪机械转动的轴线，照准轴是主光轴。理想情况下 ，垂直轴与水平面垂直 ，在它上面安装有轴角编码器，照准轴和水平轴 围绕它旋转可以得到相对于某-基准方 向的方位角度值 ；水平轴与垂直轴垂直 ，它上面安装另-个轴角编码器，照准轴围绕水平轴旋转可以得到 以水平面(或天顶)为零基准面的俯仰角度值；望远镜装在水平轴上，其主光轴为照准轴，与水平轴垂直。因此，只要照准轴瞄准目标就能得到光轴指向目标的方位角和俯仰角。由于制造工艺、装配和调整使用等因素的影响，经纬仪的三轴不能完全满足两两垂直的理想条件 ，这种因轴线不准确带来的测量误差称为轴系误差 ，包括垂直轴倾斜误差、水平轴倾斜误差和照准差 (简称三轴误差)。关于三轴误差与经纬仪测角误差 函数关系，现有文献仅给出了简化模型，未给出精确模型及其推导过程。文中通过建立球面坐标系，用球面三角学详细推导了三轴误差与经纬仪测角误差的精确数学模型，该模型不受测角角度与轴系误差大小限制。三轴误差较小时 ，对精确模 型进行简化，得到了简化模 型，简化模型公式简单，便于记忆，适用于工程应用。仿真分析了三轴误差对经纬仪测角精度 的影响。为经纬仪轴系的精度分析、误差分配 和测量误差修正提供 了有效参考依据。

1 坐标系建立及数学模型推导由于制造工艺、装配误差和调整误差等因素的影响，经纬仪三轴误差总是同时存在的，如图1所示。照准差又称视轴误差 ，是指光 电经纬仪的视准轴与水平轴不垂直的角量，源 自视准轴不垂直度误差和视轴在水平面与铅垂面的晃动误差，记为C。水平轴倾斜误差是水平轴与垂直轴不垂直的角量 ，或称不垂直度 ，它源自水平轴不垂直度误差和水平轴晃动误差，记为 b。

垂直轴倾斜误差是垂直轴与铅垂线之间的角量，它由调平误差(水平调整误差)、周期变量(垂直轴止推轴承环不平引起)和高频晃动量(钢球尺寸误差和不圆度等引起)组成M ，记为，。

图 1三轴误差示意图Fig.1 Schematic diagram of the three-error axis下面分别独立的研究它们对经纬仪方位角和俯仰角测量的影响。

1.1 照准差引起的测量误差如图2所示，图中 为目标 ，OZ为垂直轴 ，日 日为水平轴，0H为理想照准轴，OB为实际照准轴。当没有照准差时，随着俯仰角的增大，视准轴所画的大圆为弧有照准差时，视准轴已不是 ，而是 OB，俯仰角增大时，它所画的大圆在弧BTtJ，且贼 大圆P2"HT：。 目标 的俯仰角记为 E (/DOM)，当无照准差时，方位轴需转过/AOD才能对准目标 ；当照准差为C时，方位轴不需要转动就能够对准目标 ，故/.AOD即为照准差C造成的方位角示值误差，记为 。

幽 2照准差对测角 的影响Fig.2 Impact of angle-measurement caused by collimation elTor在球面直角三角形 AZMN中，由球面三角形正弦定理得 ：sin-M'rMZN sin旦MNZ (1) sin 、由于 廊 肪 c (2)/MZN/AOD△A (3)194 红外与激光工程 第42卷故得： 90o-EMsinc sin(90。-EM)sin3A sin90。

sinZA sinc×cosE(4) 因为(5) 可得：(6)若 C很小 ，则可得到简化公式：△A c×secEM (7)大圆弧瞰 大圆弧 Z 于Ⅳ。过B作BF垂直于日 H于 F，连接 F，NO。则 LMFB即为有照准差时目标 的俯仰角的测量值，记为E 。下面推导 E。、 与C的关系式。

在球面三角形 AZMN中，利用球面五联关系式可得：sin M"Nx cos/MNZsl n N-2×c0s 2- COS 2×sin ×COSLMNZ (8)由于 NOALMFBE (9)N"290。-/NOA：90。-E， (10) 90。- (11)故得 sinc×cos90。cosE。×sinEM- sinE ×cosEM×coszA (12)进-步整理得cosE ×sinE sinE ×cosEM×cosZ (13)tanEM×tanE ×cosZA (14)若 C很小，则LIA 很小，(E - )很小 ，可对公式 (14)进行简化：将 tanE。在 E 点泰勒展开tanE tanE sec E ×(E -E )2tanE ×sec E ×(E -E ) (15)将 cos5A，.在 0点泰勒展开△Ac。s△Ac： - ( 6)都取-阶近似，并带入公式(14)得tan [tanEMsec2EM x cEc-EM ( -等)(17)将公式(7)带人公式(17)得(E-EM)×(t- )2.tan (18)l》 (19)E -E c tanE△E c tanEM(20)(21)由此可知，△A 随高低角 的增大而递增，当E 0时， c；AE。与 C的二次方成正比，通常 C很小，故 /tE 0。

1.2 水平轴倾斜引起的测量误差如图3所示 ，图中 为 目标，OZ为垂直轴 ，HH 为理想水平轴， 为实际水平轴，OA为照准轴。

f //图 3水平轴倾斜对测角的影响Fig.3 Impact of angle-measurement caused by horizontal axis tilt如果水平轴无倾斜，水平轴HH 和水平面平行，照准轴所画的经过 目标 M 的大圆弧为 ，而且大圆弧面AZO与水平轴 HH 垂直；存在水平轴倾斜误差时，水平轴为 玎 ，在面 HZH 内作 OZ 垂直于 ，照准轴所画的经过目标 的大圆弧为厨 。记水平轴倾斜误差T OH /ZOZ b，则LAOB即为水平轴倾斜造成的方位角误差 ，记为 △4 。无水平轴倾斜时 目标 的俯仰角为LAOM，记LAOME ；有水平轴倾斜时 目标的高低角为/BOM，记LBOME ；下面求解△A ，及 E 与 E 的关系式。

在球面三角形 ZBM中，应用球面余切定理：ctan .sin晓 ctan ZBM ·sin BZMCOSLZBM .COS (22)因为 90。， 90。-E ，AZBM b，/AOB：LBZM AAb。

则： tanEMctanb·sin3A6 (23)即 sirl△A tanb·tanEM (24)增刊 1 田留德等：三轴误差对光电经纬仪测角的影响 195通常 b，AA 是小量 ，将其泰勒级数展开 ，取- 阶近似 ，可得到：AA b·tanEⅣ (25)从公式(25)可以看出，水平轴倾斜对方位测角精度的影响与目标俯仰角的正切成线性关系，高低角越大，影响越严重。下面推导水平轴倾斜误差对俯仰角的影响：在球面三角形 ZBM 中，应用球面正弦定理 ：堕 ： sinsin/BZM sin -ZBM (26) 、即 sinE面cosEM (27)将公式(24)带入公式(27)得 ：sinE sinEM (28)这就得到了水平轴倾斜误差对俯仰角测量的影响，对其进-步化简，将cosb幂级数展开，取-阶近似，将在 sinE 在 E 点泰勒展开，取-阶近似。即：c。s61- b2· (29)sinE sinE cosE材·(E6-E肼) (30)整理得 ：sinEMcosEM·( - )sinEM/(1- b2)(31)整理得sinEMcosEM·(Eb-EM)sinEM·1 b2)(32)记AE6：E6-E (33)则得：△E6：嬖.tanEM (34)由公式(34)可知，水平轴倾斜误差对俯仰角的影响与水平轴倾斜量是平方关系，通常b很小，故通常忽略水平轴倾斜误对俯仰角的影响。

1.3 垂直轴倾斜引起的测量误差 如图4所示，无垂直轴倾斜误差时，光电经纬仪垂直轴和铅垂线平行 。视准轴OM 随俯仰角增大所画出的大圆弧为矾 此时，视准轴瞄向空间目标位置，码盘所指向的方位角为 。

图4垂直轴倾斜对测角的影响Fig.4 Impact of angle-measurement caused by vertical axis tilt有垂直轴倾斜误差时，光电经纬仪的垂直轴为OA不与铅垂线平行。弧 所在的大圆和大圆 HM H 相交于点B，则垂直轴倾方向即为 OB所指的方向，方位角记为A 。垂直轴倾斜误差，矾 大圆弧 与大圆弧z-Yr交，相交于 A 。垂直轴倾斜误差可分解为两个分量：-个为方位分量，即弧 ：， ；另-个为俯仰分量 ，即 ，2。

在球面直角三角形△A 中，在ZOM平面内过 0点作 OA 的垂线交天球于 K。如果光电经纬仪视轴对准目标 ，俯仰码盘的零标记不是指向 OM 位置 ，而是指向 OK位置 ；方位角也是指向 OM 位置 ，方位角记为A1。

则/BOM 为 目标与垂直轴倾斜方向的方位夹角，记为/BOM ：A日-A ： ，2 (35)在球面三角形 由球面余切定理 ：ctan .sin ctan AA Z .sin/AZAcos/AZA ·COS (36)ctan，.sin/2cos(AH-A )·COS/2 (37)tanI2tan/·cos(AH-A ) (38)无垂直轴倾斜误差时，目标俯仰角AMOM E ；有垂直轴倾斜误差时，目标俯仰角为/.MOK E 。则有 ： E E。-，2 (39)