基于关联度分析的静态和动态稳健性设计

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Static and Dynamic Robust Design Based on Grey Relational AnalysisLI Shengping ZHANG Enjun(Colege of Engineering，Shantou University，Shantou 5 1 5063)Abstract：A method is established to solve robust design problems for static and dynamic characteristics by grey relational analysis(GRA).The core of the method is to obtain a relational grade ranking、)lritll a larger-the-better characteristic，which can reflect productquality or system performance，through standardization of orthogonal experiment data and computation of relational grade。

Compared with Taguchi method，it shows that this method not only atains higher discrimination and adaptabili，but also Can easilysolve dynamic robust design problems with complex functional relationship，which Taguchi method is very hard to solve。

Furtherm ore，this method doesnt involve complicated process of mathematical statistics，such as parameter estimation，hypothesistesting，et al，which is undoubtedly more practical and easier to understand an d apply.To verify this method，two practical exam plesare considered。

Key words：Robust design Grey relational analysis Static characteristics Dynam ic characteristics Orthogonal experiment0 前言由于受到原材料、设备损耗、环境差异等因素的影响，产品质量或系统性能会产生波动，有时甚至会导致废品率的大幅攀升。普通设计方法-般是通过选取更好的材料，使用更高的精度，采用更先进的设备等措施来保证产品质量，这无疑会提高生产成本。

2O世纪 70年代末创立的稳健性设计(田口方法)是-种能够有效提升产品质量、降低生产成本的工程方法。它是在产品设计过程中，利用质量、成本、效益的函数关系，在低成本的条件下开发出高国家自然科学基金(51l753l5)和广东省重大科技专项(2009A080202010)资助项目。20120712收到初稿，20121228收到修改稿质量的产品。通过寻找可控因素的最优组合使得在受到噪声因素的干扰时仍能保证产品质量的-种工程方法。换言之，若做出的设计能够保证即使在各种因素的干扰下质量也是稳定的，或者用廉价的零部件能组装出质量上乘、性能稳定与可靠的产品，则认为该产品的设计是稳健的LJ 。实践证明，稳健性设计方法具有十分显著的经济效益L2J。

目前，稳健设计方法大体上可分为两类J ：-类是以经验或半经验设计为基础的传统的稳健设计方法，主要有田口稳健设计法、响应曲面法、双响应曲面法、广义线性模型法等；另-类是以机械工程模型为基础与优化技术相结合的机械稳健优化设计方法，主要有容差多面体法、灵敏度法、变差传递法、随机模型法以及基于成本.质量模型的混合稳健设计法等。

2013年3月 李异平等：基于关联度分析的静态和动态稳健性设计 131此外，还有相当-部分研究是将稳健设计与其他设计方法相结合而产生的复合设计方法 J，发挥不同设计方法的优势以达到更好的设计效果。GU等4J证明了满足独立公理的设计是稳健的设计，而稳健设计不必非要满足功能要求间的独立性，其提出的稳健设计方法需要设计矩阵满足-定的条件。

YANG 等p 将稳健性设计与质量功能展开(QFD)结合实现基于顾客需求驱动的可靠性设计。SU 等 J运用神经网络方法对半导体生产中多晶硅线宽测量系统进行动态特性稳健性设计，具有更高的适用性。

张义民等[7-9]将可靠性优化设计理论、可靠性灵敏度技术与稳健设计方法相结合，提出了具有任意分布参数的机械可靠性稳健设计的计算方法。刘春涛等l 提出了模糊稳健设计中望大特性和望小特性的分位数型设计准则，建立了望大特性与望小特性的模糊稳健设计优化模型。芦新春等L1 建立了齿轮减速器稳健优化设计数学模型，采用改进遗传算法进行寻优，从而提高齿轮抵抗外界噪声因素干扰的能力。

近年来，将灰色系统理论和稳健性设计相结合的研究受到了关注，KOPAC 等 运用关联度分析方法对铝合金工件侧面铣削工艺进行稳健设计，同时对表面粗糙度、合成切削力等静态特性进行了优化。TOSUNL1 用同样的方法对工件钻孔工艺中的表面粗糙度和毛刺高度进行了静态稳健性优化。钟晓芳等 刮运用关联度分析方法对精密电子称的测量精度进行动态特性稳健性设计，谢延敏等 将关联度分析应用到板料拉深成形工艺的动态稳健设计中以保证拉深件不开裂、不起皱等质量要求，都取得较好的结果。

虽然这些研究都取得了-定的进展，但是它们都只是对静态特性或动态特性问题的个别实例进行研究，缺乏理论的系统性和应用的广泛性，归结起来主要存在以下几个方面的不足。

(1)没有对关联度计算中发挥重要作用的分辨系数 进行深入分析，对 的功能和意义不明确。

(2)没有形成能够同时满足静态特性和动态特性稳健性设计的理论基赐规范化的操作流程，适用范围受到限制。

(3)没有从数据处理的角度对基于关联度分析的稳健性设计方法和传统田口信噪比方法进行较全面的比较分析，未显示出该方法在数据处理方面的优势。

本文针对以上三个方面的不足进行研究，提出了基于关联度分析的静态和动态稳健性设计方法并结合工程实例验证相关结论。

1 灰色关联度分析灰色关联度分析是灰色系统理论中非常重要的-种分析方法，其基本思想是根据序列曲线的几何形状来判断不 同序列之 间直接 的联系是否紧密L1引。如果两个因素变化的态势是-致的，即同步变化程度较高，则可以认为两者关联度较大；反之，则两者关联度较校因此，灰色关联度分析对于-个系统发展变化态势提供了定量描述与比较。此方法的优点在于思路明晰，可以在很大程度上减少由于信息不对称带来的损失，并且对数据要求较低，计算过程简单。

灰色关联度定义Ll( (j)， (七)n哑nlR( )- (七)l m n I (尼)- (七)ll (后)- (尼)I m m l ( )- ( )I(1)1，( ， )Zr(Ro(k)， ( ) (2)kl式中，i1，2，，m，k1，2，，n， 为分辨系数，通 常 取 0.5。 no( (1)， (2)，， ))与 ( (1)， (2)，， ( )分别为参考序列和比较序列。 ( (七)， ( ))为 与 关于第 k个数据的关联系数，，.( ， )为 与 的关联度。

2 试验数据的规范化处理由于不同的产品具有不同的质量特性，不同质量指标的量纲以及取值范围也不相同，因此在计算关联系数矩阵之前需要将原始试验数据规范化，使其转化成具有可比性的量纲-或同量纲数据，不同的质量特性对应不同的规范化计算公式 J，具体如下。

(1)望小特性的规范化冰 ) (3)(2)望目特性的规范化f ：1- !墨 二maxmax ( - ( ， ( -min ( )(4)(3)望大特性的规范化珈 ) (5)132 机 械 工 程 学 报 第49卷第5期式中， (Jj)为规范化后的数据，Mo为目标序列，i，k， 等相关参数和记号与式(1)相同，规范化之后的数据取值范围都为[0，1且具有望大特性。

3 基于关联度分析的稳健性设计步骤基于关联度分析的稳健性设计 的操作步骤如下。

(1)规范化：对于静态问题，可按照望孝望目和望大特性分别对应的式(3)～(5)对原始试验数据进行规范化。对于动态问题，由于产品质量指标 (Yl，Y2，，Y )与信号因素 M(m1，m2，，m )存在 - 定 的 函 数 关 系 Y厂( )， 故 选 择Mo( ( )，厂2( )，， ( ))作为 ，的目标序列按望目特性即公式(4)进行规范化。

(2)确定参考序列 ：无论静态特性还是动态特性，规范化之后的数据取值范围都为[0，1]且具有望大特性，故选取 e，o(1，1，，1)作为计算关联度时的参考序列。其中，1的个数为 n。

(3)求 与 的差矩阵D的元素D(i， )IRo(j)-X (f， I1-X(f， J≤n l - -. 1(4)求D最大值 与最小值 m。

(5)计算关联系数矩阵 ，选择合适的 值，根据公式(1)计算 ，-般取 0.5。不同的 值可能对设计结论产生重要影响，须依实际情况而定，详见第 43节。

(6)计算关联度序列 ，.：根据公式(2)计算的是各质量指标权重相等情况下 y的算术平均值，如果各指标权重不相等，须按加权平均计算。

(8)稳健性分析：根据方差分析表中的百分比确定各因素的重要性排序，再根据水平和 乃， ，，为水平数)的最大值确定各因素水平值的稳健性组合。

4 基于关联度分析的静态稳健性设计钛合金以其强度高、质量轻、耐热性好和具有良好的抗腐蚀性等优点被广泛应用于航空、航天、机械、化工等工业领域。本文以钛合金磨削工艺的参数稳健性设计为例J引，对基于关联度分析的静态稳健性设计方法进行分析与验证。

由于钛合金的热导率孝粘附性强、抗氧化能力低，所以其磨削性能极差。即便采用特制砂轮磨削的钛合金，其表面粗糙度也只能达到R。>10.6 lain。

为了将表面粗糙度降至Ra<0.2 gm，根据工程实际，选取工件转速、修整砂轮时的进给量、工件纵向进给量、磨削强度作为可控因素进行稳健性设计，如表 1所示。

表 1 钛合金磨削工艺参数4.1 试验安排选择 L9(34)jE交表进行内设计，按照综合最不利条件 M 和 Ⅳ2，各进行 1次试验，并通过计算得到对应于各组试验条件的关联度序列♂果详见表 2。

表 2 钛合金磨削工艺正交试验次数水平因素A 因素 因素c 因素D Ⅳl Ⅳ2 关联度0.914 50.333 30.70760.59600.465 30.9l8O0.49l 20.935 50.403 54.2 计算分析根据前面的五个计算公式，采用 Matlab编制 M文件 进行数据处理，相关运行结果如下。

(1)规范化。表面粗糙度尺 属于望小特性，根据式(3)对 Ⅳl和Ⅳ2两组试验数据进行规范化得： 0.951 000.794 10.539 20.323 50.902 00.274 51.000 00.205 90.955 600.792 60.755 60.5l1 11.000 00.629 60.925 903ll 1(2)确定参考序列 Ro。根据 Ⅳ1和 Ⅳ2两列响应Ⅲ m 扰O O O O O O O O O 卯 弘l 2 l 2 2 l 2 1 2 O 0 O 0 O O O O O l 2 3 3 l 2 2 3 l l 2 3 2 3 l 3 l 2 1 2 3 l 2 3 l 2 3 l 1 l 2 2 2 3 3 3 l 2 3 4 5 6 7 8 9 2013年3月 李舁平等：基于关联度分析的静态和动态稳健性设计 133输出，取go(1，1)。由于经规范化后的数据具有很好的可比性，在计算关联度时省去了文献[16中求初值步骤。

(3)求 与R0的差矩阵D 0.049 01.000 00.205 90.460 80.676 50.098 00.725 500.794 10.044 41.000 00.207 40.244 40.488 900.370 40.074 10.688 9(4)求 最大值 与最小值mM max(max(D))1mmin(min(D)0(5)取分辨系数 0.5，计算关联系数矩阵R 0.910 70.333 30.708 30.520 40.425 00.836 10.408 01.000 00.386 4O.918 40.333 30.706 80.671 60.505 61.000 00.574 50.871 00.420 6(6)计算关联度序列，.。取Ⅳl和Ⅳ2的权重相同，根据式(2)可得各次试验的关联度，f0.9145 0.3333 0.7076 0.596 0 0.465 30.918 0 0.491 2 0.935 5 0.403 5lT即为尺第-列和第二列的平均值。

(7)方差分析～ ，.填入表 2中，不考虑纯波动，直接由各因素方差波动除以总波动得到百分比，如表 3所示，后同。

表 3 方差分析(8)稳健性分析。由表 3，根据各因素的方差波动占总波动的比例确定重要性次序为工件纵向进给量 C>磨削强度 ，修整砂轮时的进给量 工件转速 。根据各因素的 ， ，乃的最大值可确定磨削工艺参数的稳健性组合为CID3B3A2，且C和D所占的波动比例分别为 83.8%和 l1.3%， 和 所占的波动比例之和不足 5%。由此可知，C属于特别显著性因素， 和 为次要因素或随机误差。因此必须重点保证工件纵向进给量 C.的最优水平，而修整砂轮时的进给量 和工件转速 对性能影响不显著，应当综合考虑不同工艺水平带来的成本波动(机器设备磨损、对工人操作技能的要求等)，以达到更高的性价比。

4.3 分辨系数 的讨论分辨系数 是计算关联度 ，的-个重要参数。

根据公式可知 ，是关于 的单调递增函数，随着的增大，，.的增幅放缓，最后收敛于上限1∩以推断，如果分辨系数 取值较大则 ，将趋近于 l，因此 具有调节关联度进而调节波动百分比的功能。

根据这-特性，就可以通过选认适的 值以达到最佳的设计效果，因而其具有重要的意义。

为了说明这-点，现给出 取其他诸值时对应的波动百分比序列和稳健性组合，并列出文献[18中用田口信噪比方法得到的结论以进-步比较和分析。由于计算和分析过程相同，不再赘述。

表4 不同 值对应的波动百分比和稳健组合通过对表 4的分析可得出以下结论。

f1)随着 的增大，除了最显著的因素 C所占的方差波动比例逐渐减小之外， 、 、D的比例都逐渐增大，各因素的比例有均匀化的趋势，但不会改变因素重要性排序，也不会改变 C、J[)、 三因素的最优水平值，仅对因素 的最优水平值有影响。

原因在于因素 B的水平和 ，乃非秤近( 0.5时2.001 7与2.029 1差值小于1.37%)，不同的 取值使 和 产生了很微小的变化，从而使 的最l34 机 械 工 程 学 报 第 49卷第 5期优水平在 l水平和 3水平之间变动。

(2)根据计算，当 不大于 1.2时，稳健性设计结论均为 C1D3B3A2，当 不小于 1-3时，稳健性设计结论均为 C1D3 1 2。因此，可将田口方法看成是基于关联度分析的稳健性设计方法的特例。

(31 越小，各因素波动比例差异越大，具有更高的区分度，这对提高稳健性设计效果具有重要意义。采用田口方法算得各因素波动百分比数据为- 组固定值，如果数据之间比较接近就很难确定各因素的重要性排序。而如果采用基于关联度分析的稳健性设计方法，通过选认适的 值可以显著提高数据间的区分度，从而有利于凸显出重要因素，提升设计的稳健性。

5 基于关联度分析的动态稳健性设计基于关联度分析的稳健性设计方法不仅能够解决静态稳健性设计问题，对于动态问题具有更大的优势。由于动态特性质量指标 Y( ，Y ，， )与信号因素M (m ，m ，，m )存在-定的函数关系Yl厂( )，如在测量系统中Y： 为理想函数关系式(如果测量具有比例缩放功能则 ≠1)，因此，可选择M。(fl( )，厂2( )，， (M)作为y的目标序列对原始试验数据按照望 目特性即公式(41进行规范化。

现以精密数字电子秤为例LzuJ进行说明，由于所称物体的质量是变化的，物体质量是信号因子，输出特性为显示器上的显示结果，属于典型的动态特性。数字式精密电子秤测量精度要求很高，它由传感器系统 a、显示系统 b、稳压系统C及恒温系统 d四个部分组成。根据原有经验，这 4个系统都各有3种方案可以实施，但希望找到它们之问的最好搭配，以使整个电子秤性能最优。误差因子为环境噪声，包括环境温度、相对湿度、网络电压、操作时间等。为进行试验，现选择 3个标准砝码：l0 g、50 g及 100 g，为三个信号因子。显然，传感器系统、显示系统、稳压系统及恒温系统构成 4个可控因子，它们各有3个水平，选择L9(3 )正交表进行内设计，且由于误差因子较多，取值范围也不-样，选取综合最不利条件Ⅳ1和 Ⅳ2，各进行了 1次试验，并通过计算得到对应于各组试验条件的关联度序列。测量结果如表 5所示。

(1)规范化～ M 和 Ⅳ2两组试验数据整理成输出矩阵 yⅣ1和 ，矩阵中的任意-列都对应某-标准砝码质量信号在 Ⅳ1或 Ⅳ2条件下的 L9(3 )正交试验的数据输出yⅣ 9.989 49.9889.975 49.9749.960 49.96010.014 50.0151 0.000 49.9989.985 49.9821 0.040 50.040l 0.025 50.02410.010 50.0109.995 49.9969.984 49.9869.977 49.97610.02l 50.022l0.008 50.0019.993 50.0011 0.055 50.0491 0.042 50.03010.O1 8 5O.01499.99099.97599.959100.0l5100.00099.987l00.042100.026100.0l299.99l99.97799.966100.024100.007100.002l00.060100.035100.O16电子秤的理想测量性能为lr ，因此，选择三个信号因素组成目标序列Mo(10，50，100)，按照式(4)对试验数据进行规范化得 M和y Ⅳ1y Ⅳ20.725 0.700 0.761 90.375 0.3500 00.650 0.6251.000 0.9500.625 0.5500 00.375 0.4000.750 0.7500.909 1 0.918 40.709 1 0.714 30.58l 8 0.5l0 20.6l8 2 0.551 00.854 5 0.979 60.872 7 0.979 60 00.236 4 0.387 80.672 7 0.714 30.404 80.023 8 Il0.642 9 l1.000 0 l0.690 5 l0 l0.381 0 l0.714 3 J /0.850 0O.616 70.433 30.600 00.883 30.966 7O0.416 70.733 3(2)确定参考序列 Ro根据试验安排可知，试验响应输出有三个，分别与三个标准砝码质量信号相对应，故取Ro(1，1，1)。

2013年3月 李异平等：基于关联度分析的静态和动态稳健性设计 135(3)求 Ⅳ1和 与 Ro的差矩阵DNl和 (4)求 1和 最大值与最小值oN1oN20.275 00.625 01.000 00.350000.375 01.000 00.625 00.250 00.090 90.290 90.418 20.381 80.145 50.127 31.000 00.763 60.327 30.300 00.650 01.000 00.375 00.050 00.450 01.000 00.60000.250 0O.O81 60.285 70.489 80.449 00.020 40.020 41.000 00.612 20.285 70.238 1、0.595 20.976 20.357 l00.309 51.000 00.619 00.285 70.150 00.383 30.566 70.400 00.116 70.033 31.000 00.583 30.266 7M1max(max(ON1))1M2max(max(oN2))1m1min(min(ON1)0m2min(min(ON2)0.020 4(5)取 O.5，计算关联系数矩阵 l和R2墨0.645 20.444 40.333 30.588 21.000 00.571 40.333 30.444 40.666 70.625 00.434 80.333 30.571 40.90910.526 30.333 30.454 50.666 70.677 40.456 50.338 70.583 31.000 00.617 60.333 30.446 80.636 4136 机 械 工 程 学 报 第 49卷第 5期见 0.880 70.658 00.566 80.590 20.806 30.829 60.346 90.4ll 80.629 l0.894 70.662 30.525 80.548 41.000 01.000 00.346 90.467 90.662 30.800 60.589 10.487 90.578 20.843 90.975 80346 90.480 40.678 8(6)计算关联度序列，。由于三个信号因子同样重要，权重相等，且取 Ⅳl和 Ⅳ2的权重相同，根据式(2)和尺l、尺2可得关联度计算式和计算结果如下，f0.753 9 0.540 9 0.431 0 0.576 6 0.926 50.753 5 0.340 1 0.45 1 0 0.6566)(7)将 r填入表 5，进行方差分析，见表 6。

表 6 方差分析(8)稳健性分析。根据各因素的方差波动占总波动的比例确定重要性次序为恒温系统>传感系统>稳压系统>显示系统。并且，恒温系统和传感系统分别占了总波动的50%和 40%以上，属于显著性因素。而稳压系统和显示系统都不足 5%，可以归于次要因素或随机误差。根据 ， ，乃的最大值可确定各个因素的稳健组合为dla2clb2。由于稳压系统和显示系统都属于非显著性因素，在选择系统配置时应当充分考虑不同款型产品的性价比。

需要说明的是，在上-节的静态稳健性设计中关于分辨系数 的讨论，所得的结论同样适用于动态稳健性设计。通过选认适的 值可以显著提高数据间的区分度，从而达到最佳的设计效果。由于计算和分析过程类似，不再赘述。

6 结论(1)通过以上两个实例的计算分析，可以看出基于关联度分析的稳健性设计方法具有以下优点：原理简明，计算简便，数据适应性好，特别对于多响应问题，各质量指标的试验数据取值范围可能会存在数量级的差别，通过对数据进行规范化可使其变成取值在 0到 l之间的量纲-数据，从而具有很好的可比性，不会产生高数量级数据对低数量级数据的 吞噬”效应。

(2)田口方法只对呈线性关系的动态特性的信噪比做了定义，对于具有其他函数关系的动态特性并未给出信噪比的定义 ，l引。本文的方法不仅可以解决线性动态特性问题，对于具有其他函数关系的动态特性问题也同样有效，且操作步骤和分析过程相同，极大地拓宽了其应用范围。

(3)根据实际情况，通过选认适的分辨系数。值，可以显著提高设计结果的区分度。这在因素较多且各因素方差波动比例较为接近的情况下，有利于凸显少数最显著因素，提升设计的稳健性。

(4)本文方法没有涉及田口方法中关于 的无偏估计、假设检验等繁琐过程，易学易用，尤其适合广大不具备较高数理统计知识的普通工程人员学习使用，有利于技术的推广。

综上所述，基于关联度分析的稳健性设计方法是对传统稳健性设计的创新和推广，具有诸多优点。

其主要缺点在于需要对各项指标的最优值进行现行确定，有-定的主观性，同时部分指标(On望大特性指标)的最优值难以确定，这也是今后进-步研究改进的方向。