平面内直线度误差最小区域法的完备性研究

Research on the Completeness of Minimum Zone Method of StraightnessError in PlaneZHANG Xinbao ZHANG Kun(School of Mechanical Science and Engineering，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan430074)Abstract：In the national standard，GB/T 11336-2004，the results ofsome groups ofdatas processed on the pole calculus method forminimum tolerance zone evaluation of the straightness error in a plane are against the principal of minimum tolerance zone method，i.e.high-low-high or low-high-low，that mean s the pole calculus method exists some incompleteness.To solve this problem，theevaluation method of pole searching in certain direction and iteration is proposed.Theoretical analysis and the processing results ofstraightness error in a plane have proved that the method of pole searching in certain direction and iteration coincides wel with theminimum tolerance zone principal in the straightness error evaluation，i.e.high-low-high or low-high-low.The processing results ofdata also show that the new method has good completeness and reliable precise evaluating results and the evaluating process of thenew method is more efi cient and absolutely convergent.Particularly，the new method can overcome the defects of the polecalculation method ofthe straightness eror in a plane existed in the national stan dd，GB/T 11336·2004。

Key words：Straightness eror Minimum tolerance zone Pole calculate method Searching in certain direction Iteration0 前言直线度是表示零件形状的基本几何要素之-，目前平面内直线度的测量方法有多种，且有越来越多测量精度高、稳定性好的新方法被提出来L1 J，同样评定方法也有很多，主要有两端点连线法、最小二乘法和最悬容区域法。其中最悬容区域法的评定结果小于或等于其他两种评定方法 。4J。最悬容区域法不能以解析形式来表达，目前近似求解直20120216收到初稿，20120805收到修改稿线度误差的最小区域法多采用旋转法，即改变-元线性方程zayb中的斜率 a以进行搜索逼近，如逐次逼近旋转法L，J；精确求解直线度误差的最小区域法有分割逼近法 J、构造包容线法等，这些方法仍然存在收敛性不好的问题；空间直线度误差评定的逼近最悬容圆柱法 的算法收敛性好，但是-种逼近最小区域的评定方法↑些年，也有学者专家对直线度评估方法做了-些新的研究L8 引，但仍然没有解决计算过程复杂、耗时长或者结果不够精准的问题。因此，在不断提高直线度测量水平 的同时还应不断提高直线度误差的评定水平。极点计算法是国家标准 GB/T 11336.2004《直线度误差检2012年 12月 张新宝等：平面内直线度误差最小区域法的完备性研究 15测》中平面内直线度误差最小区域评定采用的方法之-～有些平面内直线度误差检测数据代入此极点计算法，经计算和判别，评估结果不符合最小区域，存在不完备性。

为了克服了国家标准 GB/T l1336.2004中极点计算法存在的不完备性，本文提出了-种精确寻找平面内直线度误差的最悬容区域的定向极点搜索与迭代新方法。

1 最悬容区域极点的搜索原理在给定平面内，由两平行直线包容实际直线，成 高-低-高”或 低.高-低”相间的形式之-时，这两条直线就是最小区域的包容直线。因此，进行平面内直线度误差的最悬容区域评估的关键就在于寻找到符合最悬容原则的高-低-高(或低-高-低)三点。

1.1 初步确定两点定义平面内被测实际直线所在方向为Y轴，垂直于Y轴的方向为z轴。设实际直线的提取线上各测点为 ( ，z )，(f1，2，， )，其中 为各测点的代号，YjiXda和Zi为实际线上测点的坐标值，是两个测点沿直线方向的间距。设对各点进行最小二乘直线拟合得最小二乘直线方程为zayb (1)计算各测点相对最小二乘直线的偏移量diZi-b-aYi (2)式中，di≥0的点定义为高点，di<0的点定义为低点 ， 找 出 di中 的 最 大 偏 离 值 点 并 记 为( ， - )和 最 小 的 偏 离 点 并 记 为( ，Zd mj )；初步将这两个点确定为三个极点中的两个。

1.2 第三点的定向搜索与迭代在同-个二维坐标系中绘出所有参与评估的点，第三个极点按以下方法获得。

(1)定向搜索。如图 l所示，连接 、两点，同时过 、 两点分别作平行于最小二乘线的直线 、BB1。使两条直线 、魍 沿 、与直线 所夹锐角减小的方向分别绕和 两点以相同的角度步长旋转，旋转过程中 、魍 中任意-条直线先碰到-个测点即停止旋转。

(2)判定与迭代。若第-步中所碰到的测点不在 、 两点之间且为高点记该点为Cm ，则、 、 Cm 三点构成符合高.低-高(或低.高-低)原则的三点。其中直线 Cm 和过 点平行于直线 Cm 的直线是最悬容区域的包容直线，两直线间的距离即为平面内符合最小区域原则的直线度误差值。若第-步中所碰到的测点不在、 两点之间且为低点记该点为cm ，则、 、 三点构成符合低.高.低原则的三点。其中直线 Cmi 和过 点平行于直线的直线是最悬容区域的包容直线，两直线间的距离即为平面内符合最小区域原则的直线度误差值。

若第(1)步中所碰到的测点在 、 两点之间且为高点记该点为 ，则用 迭代 重新重复第(1)、(2)步的操作直至找到符合要求的最悬容区域。若第(1)步中所碰到的测点在 、 两点之间且为低点记该点为 ，则用 迭代重新重复第(1)、(2)步的操作直至找到符合要求的最悬容区域。

图1 寻找最悬容区域极点的理论路线图2 最悬容区域极点的数学计算按公式d -b-aYi找到 中的最大偏离值点和最小偏离值点后，分别记为 ( -，Zd-)和 、(Ydl1i ， min)，初步将这两个极值点确定为三点中的两个。按上文所述搜索原理，第三点通过以下步骤获得。

(1)求解斜率差的最小值。找到直线 与所夹锐角 (或 - )区域内的所 有 高 点 和 直 线 与 BB1所 夹 锐 角ZBBm (或 ‰ )区域内的所有低点；对这些高点重新命名为Pj(Yj，z，)其中J(1，2，， 1)，对 这 些 低 点 重 新 命 名 为 ( ， )其 中k(1，2，， ：)，计算 和 的斜率c 1，2，， (3) yd -y il6 机 械 工 程 学 报 第48卷第 24期C n k1，2，， 2 (4)Yd㈣ -yk -求出Am p，t、 i 与最小二乘直线斜率差的绝对值，即， - l 1，2，，zl (5) I C n-a I k1，2，，n2 (6)找出A，f和△ 中的最小值。

(2)确定极值点。若第(1)步最后求得的最小值对应的点为高点且不在A 。 、 i 两点之问记为Cm ( ，z )，则 - 、 、Cm 构成符合最悬容原则的高.低-高三点。设直线 Cm 的方程为za1Y式中，口1 坠 坠 ，bl- -以lY 。

yd -y眦x此时，点 (Y mj ，Z i )到直线 Cm 的距离即为符合最悬容区域法的直线度误差值AI Zdmin-alYdrain-b，/，/口1 1 (7)若第(1)步最后求得的最小值对应的点为低点且不在 、 i 两点之间记为clmi (YI1i ，z )，则、 i 、 i 构成符合最悬容原则的低-高-低三点。设直线 Cm。 的方程为za2Yb2式中，口z Zdmi n-Z min，-min - ： m-n o此时，点Am ( - ， )到直线8mInCm 的距离即为符合最悬容区域法的直线度误差值 r-- -- A：1 zd -a2Ya -62/a2 1 1 (8)若第(1)步最后求得的最小值对应的点为高点且在 - 、 .m之间记为 ( ，z - )，则用点 ( ：-，z -)代替 (Ya ， -)重复第(1)、(2)步的操作直至找到符合要求的最悬容区域。

若第(1)步最后求得的最小值对应的点为低点且在 、 之间记为 ( ，z ， )，则用点i ( ，z i )代替 ( i ， i )重复第(1)、(2)步的操作直至找到符合要求的最悬容区域。

在求取最悬容区域的第三点时，由于已按最小区域的高-低.高或低.高.低原则进行定向搜索与迭代，故而不需要代入所有的点进行比较，大大减少了运算量，缩短了搜索时间，更确保了所取三点的准确性。

3 应用实例为了进-步验证定向极点搜索与迭代法较之国家标准 GB/T 11336.2004的极点计算法和其他的旋转法等方法有更好的完备性、可靠性，本文采用Agileng5529A 双频激光测量系统对-根精密直线导轨进行直线度误差检测，得到-系列采样点的间距为40 rnrl的直线度误差检测数据，下表提取了其中的三组。分别对国家标准 GB/T 11336-2004的最小区域极点计算法和本文的定向极点搜索与迭代法用 Matlab法编程，对表中的三组数据进行直线度误差评估得到如下结果。

表 精密导轨的直线度误差检测数据 m对第-组数据进行直线度误差的最小区域法评估，采用国家标准GB/T 1 1336.2004的极点计算法和本文的定向极点搜索与迭代法均得到如图2所示评定结果，三点分别为第 3点(低)、第 l5点(高)、第 26点(低)，计算出直线度误差值为 27.600m。

由此可知，-般情况下按国家标准 GB/T 11336.2004所述的极点计算法进行符合最小区域的直线度误差评定即可得到符合最悬容区域的高-低.高或低-高-低原则的评定结果。

表中第二组数据按国家标准 GB/T 11336.2004的极点计算法进行直线度误差评估，得到如图 3所示的结果，三点依次为第 1点(低)、第 21点f低)、第26点(高)，不符合最悬容区域原则，计算得直线度误差值为 15.835岬 ；采用本文的定向极点搜2012年 l2月 张新宝等：平面内直线度误差最小区域法的完备性研究 17gjl1j鹰《gjI1j鹰《采样点位置/mm图2 第-组数据的最小区域评定结果采样点位置/mm图3 第二组数据按国家标准方法的最小区域评定结果索与迭代法进行直线度误差评估，则得到如图4所示符合高.低.高原则的三点：第 1O点(高)、第 21点(低)、第 26点(高)，计算得直线度误差值为 14.533pan。对这类数组，国家标准 GB/T 11336-2004的极点计算法造成的失误，可以通过采用本文所述方法中的 定向搜索”直接避免。

基jj1lj堡《采样点位置 /mm图4 第二组数据按本文完备方法的最小区域评定结果表中的第三组数据按国家标准 GB/T 11336。

2004的极点计算法得到如图5所示的评定结果，三点依次为第 14点(高)、第 15点(高)、第 26点(低)，不符合最悬容区域原则，计算得直线度误差值为36.030 gm。采用本文的定向极点搜索与迭代法，则得到如图6所示完全符合低.高f氐原则的三点：第4点(低)、第 l7点(高)、第26点(低)，计算得直线度误差值为31.861岬 。对这类数组，定向搜索”仍不能完全克服国家标准GB/T 11336-2004中存在的缺陷，需要结合本文所述方法中的 迭代”才可完全克服。

吕j1jI堡《采样点位置 /mm图5 第三组数据按国家标准方法的最小区域评定结果吕堡《采样点位置/mm图 6 第三组数据按本文完备方法的最小区域评定结果以上三组数据的处理结果充分说明，国家标准GB/T 1 1336-2004的极点计算法存在不完备性。本文的定向极点搜索与迭代法的完备性好，同时较之其他的旋转逼近法，在限制了搜索方向后作单向旋转且参入计算的点数少，不但评定结果更加精准，而且相对逐次逼近旋转法等方法大大减小了计算量，提高了评定效率。

4 结论(1)提出了平面内直线度误差最悬容区域的定向极点搜索与迭代的评定方法。

(2)与国家标准 GB/T 11336.2004中的最悬容区域法的极点计算法相比，定向极点搜索与迭代法完备性好，得到的三个极点准确可靠：完全符合最悬容区域的高.低.高或低.高-低原则，求得的直线度误差更精准、可靠。

(3)与逐次逼近旋转法、分割逼近法等方法相比，定向极点搜索与迭代法的计算过程绝对收敛，运算量小，速度也更快。

因此，本文提出的平面内直线度误差最悬容区域的定向极点搜索与迭代的评定方法是精准的、完备的。