开环位置激励半球谐振陀螺仪工作原理与误差分析

半球谐振陀螺仪是-种哥氏振动陀螺仪，根据激励方式的不同可分为位置激励模式和参数激励模式r]。其中根据沿谐振子环向与位置激励主电极相隔 45。位置是否有力平衡控制电极，将位置激励模式又分为开环位置模式和力反馈位置激励模式。

国内外为对谐振子唇沿的振动分析仅停留在近似方法中，大部分文献均利用均值法[1 求解半球谐振子的振动位移的动力学方程和误差方程，本文将在半球谐振陀螺开环位置模式下，质量分布不均匀的半球谐振子径向振动和波腹方位角的精确的解析表达式，并分析质量分布不均匀对波腹方位角的影响，同时根据陀螺仪的精度要求来确定密度分布不均匀的取值范围。

1 半球谐振子波腹方位角的推导本文将研究开环位置模式的工作原理与误差分析，即图 1中不含力平衡控制电极。图 2为半球谐振子坐标系O-XYZ，半球壳谐振子中曲面-点的矢径为R，把经线和纬线作为坐标曲线a、口。根据文献[2]，谐振子唇沿处径向振动可写为叫-pcos 2flqsin 2 -(acos COorosin∞of)·CO8 2p (bcos叫o nsin 60t)sin 2 -(acos 2/bsin 2卢) (tacos 2flnsin 2卢)COS(CO0 )-A COS(COot) (1)收稿 日期 ：2012-03-02作者简介：赵洪波(1984-)，男，山东临沂人，博士生，主要从事惯性技术的研究。任顺清(1967-)，男 ，主要从事惯性技术及检测技术的研究 。 52 压 电 与 声 光 2013钲式中：户( )，q为谐振子按二阶固有频率振动的位移函数； 。为固有频率。谐振子唇沿环向角 角处的径向振动的振幅A 为A -[(acos 29bsin 29)。(tacos 29”sin 29) ] /2-[ (a 6 。)丢(。 m2-62n2)c。s 4卢(n6m )sin 491 /z-[ 1(。z6z zn2)A COS 4(B- )] (2)则波腹方位角度 为tan 40'- (3)当振动为驻波即 - 时，根据式(1)可得式。

2 bn2 - I 鱼l (4) n式(3)即为文献E2]中常用的求解驻波角度的公正交图 1 位置激励模式信号检测原理图Z《 j ：n、。

/ 图 2 半球谐振子坐标系2 状态方程的建立建立 a-丌/2时 谐振子开环位置激励模式下半球谐振子质量分布不均匀的动力学方程为f( 。 )p-b4ml -2Oboz刍(嗍- I c。) -( 6o )q6 厂n g-Fc。s cu。

l( 。- )q###b4ml 2bo刍田(嘞 l fq( - ) fb。g-0(5)其中r /2。--P0hR J。(u w )sin ada-- 1.529 61pohR (6)- u。 sin -～ 0.552 96hR (7)bo：2hR Po J。w in d ·958 70p。

(8)r /2d-hR 。l (v -W )sin dda-- 0.89408hR (9)e-hR n j。(V V )sin ada-1.317 77 n (10)r /2厂--hR。 I Vsin ada～0.356 19hR。

(12)Z-∞omo/O (13)F- cos 29b0a - 7r J- ： 垦：! 翌7r j/ ± 上o。

COS 2qb (14)(15)I H[(-u w u-4WV-U W-2W )y己 UW ，-4 -4WV-U V -2W ]H (-3U。 V)昙 u 5W U2W"V-5U w2V W 十4W 9W'W ))，U W -12W L U- W U- 4 - 14W V- 己， W 第 1期 赵洪波等：开环位置激励半球谐振陀螺仪工作原理与误差分析 53w w-W w] 1-)1(-3u。8W uV 8WV-8UW W16W。16W"W )sin口da-(-0.188 52)，-0.035 89)H 0.152 62H1 (20.309 76)，-15.84 17) 41.102 48暑-[Eh(6×10- y2.012×10- h 7-0.388 92h -4.042×10 R )]/[R ( -1)] (16)式中：a。，a 和 b ，b 分别为密度沿谐振子环向角展开式第 2，4次谐波余弦项和正弦项幅值；p0为密度的均值(ID(卢)- ∑ (口iCOS iflb sin 卢))；和 分别为谐振子的输入角速率和角加速度；h为半球谐振子鼻的厚度；R为半球谐振子鼻中曲面的半径；U(a)-V(a)- sin ·tan (a/2)，W(口)--(2COS口)·tan (a/2)为二 阶固有振型的瑞利函数，式(5)中的-些参数对瑞利函数求积分可得到精确的数值 为介电常数；V。为位置激励主电极电压的幅值，且趣励电压的频率与谐振子的固有频率 ∞。-致；d。为电极与谐振子之间的间隙； 为位置激励主电极所覆盖的角度大小， 为第-个电极的方位(本文取 O)；Q为半球谐振子的品质因数；E为弹性模量；)，为泊松比； 。为不考虑频率裂解时的半球谐振子二阶固有频率；W ，V ，W ，w 分别表示瑞利函数 w 对环向角卢求- 到四阶导数，其他类推； ， 为P，q对时间的导数； ， 为 P，q对时间的二阶导数，H-Eh/(1-)， )；H1Eh/E2(1y)]；DEh。/E12(1-)， )]；D1Eh。/Eg4(1y)]。

设 z ， - ，贝 由式(5)得主-[(-2g]bob4 1mo z- 1a4 z)z-(2n6om0-2 60m1a4lm1b4) (epomo-Tdm0口4 Como-mla4epo去 1da：-m1口4c0- 6ob4m1告d )p(-Oh。m。-专6 dm。

m1a42b-epob4m1-Cob4m1)qb2fmoa2gmo- la4b2厂- 1a4a2ga2fb4el-62gb4m1-F( 0- 1a4)COS o ]/(- m口ib；mi) (17)- E(20b0mo-t-2g2b0m1a4-64m1 z)z(2f2bob4m1 o za4m1 z) ( mo6。 1n4-÷64dmo-ep。b4 l-c。b4 1) (epo o.去a4mo Com0-Fepoml口41 2Co la4Ob。b 号 m )·q-(口2fmoa2fm1a4-b2gmo-b2gm1a4b2fb4 1n2gb4m1-F 1b4COS叫0)]/(-m5m；口；bim ) (18)根据式(17)、(18)可建立振动位移和速度的状态方程为A00A3lA4100A32A4210A33A4301A34A44(19)(20)A31- - ( 。- 1 n4 。Como-Dlla4epon； - 口 c。-Ob。6 1 21)/[ - (口i )] (21)A32--(-2bo'no- 1 64 。rnla4b。-epob4ml-C。b4mi)/[仇 -m；(nib1)](22)A aa - - - Aa4-3- - 币 干 -A4，--[ 6。 。 6。 1a4-· 1 6。 - epob4ml-cob4m1]/[ 5-m(口i )](25)A -- (epom。) 口 。 f。 。epom 口 O O I二A-] ， j 。

中其54 压 电 与 声 光 2013正1 口 42 m1com1n4i2bob4m11D42dm1)/Em；-m；(n b：)] (26)A43- - - - L )钆 - A --- 二 。厂 Jf31-Eb2fmoa2gm0- 1a4b2f-m1＆4口2ga2fb4m1-b2gb4 1-F(mo- la4)·COS∞0 ]/(- ma；b24m) (29)f41-[-Ct2fm0-a2fm1a4b2gm0b2gm1·a462fb4m1口2gb4m1Fm1b4COS(Jot]/(-m n 6 ) (3O)因实际应用中角加速度较小，且由文献[2]可知，密度不均匀的二次谐波对四波腹振动的影响可忽略 ，故在以下求解过程 中均假设 -0，＆ -b 0F -l 0则二mj-mj(口； )3 状态方程的求解与波腹方位角的求取下面将求取式(19)的精确解析解。由文献[3]可得式(19)的解为口Dcos COotD2 sin COot-JDIb lLDCOS∞0t十 (31)其中D1-2ReE(i 。J4 -A) F /2] (32)D --2ImF(i∞。J -A)- /23 (33)式中Re与 Im分别为蓉阵各元素的实部和虚部。

D1 [(iOoI44-A)-F'/2]-m 丽 m rd下d，l n- 1口 1-1 J l：D2-2ImE(icO0I4x 4-A) /2]- 再 钢 二Awo4A 44rA∞- -。A(CO们ozrAA)(4m2)。 ：三 rA； ：式中：×”表示以下将不会用到，故省略掉。r ，J分别为Ii叫。J -AI的实部与虚部，即rA-∞ ∞；(-A3A44A42A34A43A31)A3lA42-A32A4l (37)IA-∞i(A3A4)CO0(-A32A43A42A3-A34A41A31A44) (38)将 a，b，m， 的值代人式(3)得tan 4 - 碧圭 -2( A ·A44A43A42A41)( 。- 1a4) ( ·nb××××(34)(35)(36)A32 ∞ A33A34A3lA32)(m1b4) [((U A。 )(∞；A船)∞：A。A jA34A43A41 A32](m0-/7/la4)m1 b4/[(山 A ) A； -cU A；。-A ]·(m0-m1a4) [ 02324A；2- ；A；3-( A。 ) ](m b )。2[( A 2)·A32(U A34A4-((UjA31)A4l-(u A43A33]( 0-m1n4) 1b4-[-7.328 68(O.716 89pohR n c。)·P zn-1.269 97kphR t"2 b4q z二 -第 1期 赵洪波等：开环位置激励半球谐振陀螺仪工作原理与误差分析0.764 05k n4b I/E7.026 03·(O.867 llpohR 力 fo)phR -1.911 09(0.716 89poh· 则.R 力。c。) 善-1.269 97kphR 0.382 02k。(口 ：-b；)] (39)式中k-O.519 72pohR。n。-Co。

忽 略式(39)中的小量得tan 40 (-7.328 68 ZnO.764 05c≮4b4)/[7.026 03p3ohR n -1.9ll 09 oaRL20.382 02co(n；-b；)] (40)当 较小且 n -b -0时tan 40 ≈4 -3.834 82pohR /Z (41)则，-O.958 70 pohR2-0.958 70 ×袅0-o. 7。 × 0- - 52 9 6 × - 2K 1. 1-(U- 式 中： 为阻尼 比；K- O o0· 313 381，式 (42)与文献Eli中结果-致。

53.709 51pl。tan 40 21.472 84c。·hR。tan 43 n 4b4- 10.736 42c0 hR。·tan 40 (n；-b；)] )/(14.052 07po·hR2 tan 43 ) (43)当式(40)中分母小于 0时 ，即力<(44)式(42)中劝-”号 ，反之劝”号 。

4 误差分析开环位置激励模式下由谐振子质量分布不均匀引起的角速率解算误差可由下式获得：误差- -Q0 (45)其中n ×--1 /1 tan-Z401 (46)× ，- ×，COS 4311 COS 4321、- sin 4 1 sin 402 /-(c。t 231-cot 232) (48) - J L式中： 为式(4O)解算的角度；力为将 代人不含误差成分 口 、 的式(43)中解算得到的； 与 。为分别按不含误差成分式(4O)和(43)得到的～文献[2]中提供谐振子的具体参数代入式(48)得 力误差随n、口 、b 变化趋势如图 3所示 。

要马 O ·a47x10 ，64lX10-7十口 1×lO～，b47xlOa47x 10-6 b47x lO蠢- · - 古★- ，阜：十 十 J， 。十 。十 ÷：