零阿贝误差的纳米三坐标测量机工作台及误差分析

随着现代制造业的发展，对各种超精密加工零件、超精密光学元件、微机电系统(MEMS)、半导体器件等三维轮廓的高精度测量、计量等方面的需求越来越迫切。当工件尺寸公差要求在亚微米级以内，因设计、装配、环境等方面存在着各种误差，尤其是存在有较大阿贝误差的传统三坐标测量机(CMM)便不再能满足测量要求 ，因此研制小型的纳米三坐标测量机[1 已成为现代测试技术的热点，近年来世界各国均投入巨资进行研究。

日本 东 京 大 学 Takamatsu教 授 研 究 的 Nano-CMM ]，机 台结构采用 对称移动桥式 的传 统CMM 缩小设计 ，以双 V 型凹槽 中放置精 密圆棒的方式设计 、Y向导轨，以摩擦轮结构实现位移驱动 ；德国 Ilmenau技术大学 Jger教授所研制 、后由SIos公司商品化的三维纳米定位平台lL3]，其 z、Y轴采用线性马达驱动，丝杠副传动的两个单轴运动台堆栈组合实现二维运动，加装了用于运动误差补偿的 PTZ微动平台；瑞士 METAS研制 的 Ultra precision CMM[4]，采用计量系统与三维运动工作台分离的结构设计，其 X、 向运动靠组合式 V型导轨的左右平移实现，通过导轨下装空气轴承以隔离振动影响。此外还有英国 NPL的 Small CMM、荷 兰 IBS的 Isara400-uCMME5等 。

阿贝原则是仪器设计和长度测量中应遵循的基本原则。常规的三坐标测量机是-种三维测量装置，在结构上不满足阿贝原则，阿贝误差是其主要误差源，且很难通过提高加工精度和装配要求进-步减小，限制了测量精度的提高，因此不能满足上述零部件或器件测量不确定度要求。针对上述需求和传统 CMM 的结构缺陷，本文研制了-种纳米 CMM 工作台，其在三维测量方向上同时符合阿贝原则 ，从而大大减少了误差并降低了加工精度要求。在常规 CMM误差分析的基础上，文中对纳米 CMM工作台存在的其他误差进行了分析，列出影响测量不确定度的误差源，并提出了相应的修正方法 。

2 CMM 工作 台系统设计及特点纳米 CMM 整体结构布局如 图 1所示 ，主要包括花岗石材料的基 座与悬臂梁 ，xyz三轴 的激光干涉仪、激光反射镜和压电陶瓷驱动电机，三维运动工作台，力平衡系统，测头系统等。其测量范围为 50 mm×50 mm×50 mm，激光干涉仪测长分辨率为 1 nm，驱动电机分辨率可达 0.3 nm，测量系统设计总不确定度≤100 nm。CMM 主框架由花岗石基座、三维运动工作台和安装固定测头的悬 臂 梁 组 成。测 量 时，被 测 工 件 被 摆 放 在CMM 中间的三维运动工作 台上 ，由各轴 电机驱动工作台移动，并 由各轴激光干涉仪通过工作 台上装有的激光反射镜，反射测量信号来感测位移(a)整体结构 (b)实物图(a)Overl structure (b)Actual photo图 1 纳米 CMM整体结构图Fig.1 Framework of nano-CM M变化，当被测工件触碰到固定在悬臂梁下的测头时，由测头系统反馈电压信号嘲，当反馈的电压值666 光学 精密工程 第21卷达到设定目标电压值时，软件系统将同时记录此时激光干涉仪显示值和测头坐标值 ，通过软件 中的算法处理 ，显示出被测点三维空 间坐标值 ，从而实现采点测量。

在长度计量 的仪器设计 中，阿贝原则是-个最基本的原则，影响着仪器测量精确度。在传统CMM 中，影响测量 不确定度 的主要 原因就是在三维测量方 向上难以同时符合 阿贝原则 ，严 重限制了CMM 测量精度的提高。为了解决这-难题 ，避免阿贝误差对 CMM 三维测量方向的影响，研制了上述纳米 CMM，其工作台结构设计遵循331”原则即三轴标尺线相互垂直并交于-点，由-z、Y标尺线构成 的测量 面与 z、Y轴导轨 导向面相互重合 ，且测头中心点与各轴标尺线交点重合 ，简称为三线共点 、三面共面，点面重合[7]。

(1)三线共点布置三轴激光干涉仪与热膨胀系数较低 的铟钢材料加工成的调整机构，构成了纳米 CMM 的测量系统 ，如图 2所示。通过在工作台中间架设-个三面相互垂直的标准四方棱镜，调整三轴激光标尺线相互垂直并交 于-点 ，使 CMM 在 空间上的阿贝臂为 0。

斓 整图 2 三线共点布置Fig.2 Arrangement of three scale lines with converged point(2)三面共面平台设计为了使 、Y导轨处于相同的高度，将运动工作台设计成相互嵌套的形式，如图 3所示，运动台基座固定在花岗石基座上，z工作台由电机驱动，沿运动台基座运动，Y工作台嵌套在 z轴运动基座外侧，z工作台嵌套在 Y工作台内，可 自由升降。由机械加工保证 z、Y轴激光光束高度与z、Y轴导轨高度相同，也就做到了三面共面”：z、Y导轨导向面与 z、Y激光标尺线构成 的测量平 面相重合 。

图 3 共平 面设计Fig.3 Design of common plane(3)点面重合设置在激光干涉仪和三维运动工作 台安装调试完成后，通过测头系统调整测头高度，使测头中心与z、 激光标尺线构成的测量 面重合 ，并处于其交点上 。

(4)力平衡系统CMM 力平衡系统主要包括 x-y二维游动力平衡系统(图 la)和 z轴-维重锤力平衡系统 (图4)。x-y二维游动力平衡系统是为 了消除固定在轴下的保持架(图 4)和 z轴零部件的重力对z、Y导轨变形 的影响 ，并保证工作 台处在 、Y轴 的任意位置时，力平衡机构所提供平衡力的大型方向都能保持不变 。 轴-维重锤力平衡 系统是为了平衡垂直方向的 轴工作 台重量而装配 的 2个平衡重锤 ，以避免 台重量大于电机推力而导致电机无法驱动工作台的现象 。

3 CMM 工作 台误差分析在天津大学张国雄教授提出的常规 CMM 误差分析的基础上l8]，基于331”原则设计 ，结合工作台运动而测头 固定以及独立测量等特点 ，刚性几何误差 、激光标尺线垂直度误差、热变形误差 、力变形误差成为了纳米三坐标测量机工作台的主要误差源 。

3.1 21项刚性几何误差对于 CMM 21项刚性几何误差分析，需假设反射镜相互垂直且无 自身形貌误差，激光标尺线相互垂直 ，单独考虑导轨运动误差 的影响 ，如图 4所示 。

CMM 产生定位误差(1、7和 13)的主要原因是激光干涉仪存在示值误差。示值误差包括激光第3期 黄强先，等：零阿贝误差的纳米三坐标测量机工作台及误差分析 667图4 纳米 CMM 工作台结构Fig.4 Structure of nano-CMM stage干涉仪 自身系统误差和阿贝误差。激光干涉仪自身系统误差在此不予讨论 。基于331”原则设计的工作台实际装调后，存在着三线不共点或共点但与测头不重合等现象，即测量线与激光标尺线不在同-直线上，导致产生残余阿贝误差。由于CMM测头固定和工作台的结构特点，残余阿贝误差可综合在各轴激光干涉仪反射镜形貌误差中，用特制 0级平 晶作测量基 准 (平面度公 差为3O rim)，通过间接法测出激光干涉仪反射镜直线度或平面度误差，并在软件中给予修正。

对于导轨系统不完善性引起的各轴直线度运动误差和角运动误差，由于z、Y轴结构-致，可以z轴为例分析，由于 轴机构是独立的，且上下运动对z、Y轴激光干涉仪无附加输出，所以可独立分析。

将 Y、z两轴看作-刚性整体，当 轴单独运动时，工作台会在 Y、z两个 方向上 引起直线度运动误差(2和 3)，产生微位移。同时绕 z、Y、 三轴会分别产生滚转 角运 动误差 4、俯仰 角运动误差 5和偏摆角运 动误差 6，这些 角运 动误差会在其他轴上引起微位移。这些微位移都会被激光干0 20v。

011 0 0 (zL)0 1 0 ( L)0 0 1 LO O 0 1涉仪实时读龋由于三线共点的结构布局，z轴运动引起的直线度运动误差和角运动误差 ，可 由自身测量系统感知和修正，所 以对测量结果不会产生影响 。同理 Y轴上 的直线度 运动误差 和角运动误差对测量结果也不会产生影响 。

对于 轴运动误差分析， 、Y轴运动误差分析方法已不再适用～ 轴运动分解为平移和旋转两个运动过程 ，如 图 5示。先假设初始坐标 系00随工作台 向平移到 0 坐标系 ，然后 0 坐标系绕其原点旋转到 02坐标系。

厂、 )(a)平移运动 (b)旋转运动(a)Translational motion (b)Rotaty motion图 5 轴运动误差分解 图 Fig.5 Exploded view of Z axis motion error设工作台 z向平移 z 距离到达 0 点 (图5a)，在这个过程中 台受到与 z位移有关 的z、Y向直线度运误差 15 ( )、14 ( )的影响，用坐标变换 T 表达这个坐标变换的过程：T1- Trans( ( L)， ( L)， L). (1)z台因导轨运动引起绕.39轴的角运动误差 16e ( )、绕 Y轴的角运动误差 17e ( )、绕 Z轴的角运动误差 18e ( )，使得坐标系0 旋转到坐标系 0 ，其坐标系变换用 T 表示 ：T2- Rot(x，e (zL))Rot( ， (zL))Rot(z，e (zL))。

(2)结合式 (1)和 (2)，经 平移 和旋转后 左边 变换 丁为：T - 丁lT2- Trans( ( L)， ( L)， L)Rot(x，e ( L))Rot(y，e ( L))Rot(z，e ( L))。

(3)将式(3)求逆展开，约去微小项，便可得到点O0在坐标系 02下的坐标 ( ，Oy。，O )：1e ( L)- e ( L)O(- (zL) L· (zL)，- (zL)- zL· (zL)，- zL) . (4)圈 LO 0 O 1 / L L 0 e e -) L ) L O e r -668 光学 精密工程 第21卷而三轴激光干涉仪输出值为 X-0，y-0，z-zL/cos(， (zL) (2L))，如图(5b)所示 ∏运动对 向激光干涉仪输出的影响仅为余弦误差，由于角运动较小(约为 10”)，可忽略不计，因此z轴单独运动时，各轴激光干涉仪输出值应为：X - 0，Y - 0，Z - L. (5)由式(4)和(5)对比可知，当z轴单独运动时，z轴 的直线度运动误差和角运动误差对 CMM 的 z、Y轴测量值会造成-定影响，而对 z轴的测量影响仅为可忽略不计的二次误差。

对于三轴导 轨垂直度误 差分析 ，以 9F-Z轴为例 ，导轨垂直度误差是 与机构加工和装调有关 ，加工装配之后，就固定不变，所以可将 ，Z'-Z方向的导轨看作-刚性整体(图 6)。当 轴向上移 z 时，由于X-Z导轨存在的垂直度误差 ，会造成 轴激光干涉仪有微小位移 △z的变化 ，被 z轴激光干涉仪读龋由于工作台三线共点的结构，所以 X-Z轴导轨存在的垂直度误差，也可 由自身测量系统感知和修正，对测量结果不会产生影响。因此，x-y、y-z轴导轨存在的垂直度误差对测量结果也不会产生影响。

图6 X-Z轴导轨垂直度误差Fig.6 Squareness error of XZ axis guides3.2 激光标尺线垂直度误差由于加工和装调不够理想，基于331原则”设计的工作台存在着三线不共点、三面不共面、标尺线不垂直等残余误差。其中三线不共点已分析过，在激光标尺线共点且与测头重合的情况下，两导轨面与测量面不共面，不会对 CMM 测量产生影响。

传统 CMM 标尺线-般都是附在各轴导轨上，可归类到导轨垂直度误差中分析，而纳米 CMM各轴激光标尺线是与导轨分离且各 自独立的，所以还需对激光标 尺线垂直度误差进行分析。

三轴激光标尺线在设计时要求相互垂直，以便建立机器坐标系基准，实际组装后各轴激光标尺线相互之间不是绝对垂直的。如图7所示，假设 z轴激光标尺线偏离垂直线夹角为 ，当工作台沿 z轴从位置 A 运动到 B时，工作台实际移动距离为.27。，而激光干涉仪会输出距离为L，偏差值 △ -L-.27。-L(1-COS )，为余弦误差 。经调整后 的激光标尺线垂直度误差基本控制在 2 以内，即使在全行程测量范围(50 ram)内产生的余弦误差也只有 8.5 nm。所 以由激光标尺线不垂直引起的误差在短行程测量过程 中可忽略不计 。

. - - -懂 -图 7 激 光标 尺线垂直度误差Fig.7 Squareness error of laser scale lines3.3 热变形误差当实际空间温度不是 2O℃时，CMM 机体尺寸、被测件尺寸等都会发生变化，从而导致热变形误差 。由于 CMM 放置在控温精度达(20±0.5)℃恒温室中的恒温箱 内，恒温箱控温精度可达(20±0.05)℃ ，处于两级控温环境 ，温度躇匀 ，且工作台是 由线膨胀系数较低 的殷钢材料制成 ，结构较对称，所以CMM 工作台只有简单的热变形，且主要是被测工件热变形误差 ∩利用热变形误 差修 正公式 ，通过软件在测量结果 中直接补偿。

3.4 力变形误差使用刚度较高的殷钢材料加工而成的工作台，加上 良好的力平衡系统，使力变形不再是影响CMM 测量精 度的重要 因素 。但 是对于纳米级测量精度要求，还需对工作台力变形误差进行简单分析。工作台的力变形误差主要是各轴导轨因受力第3期 黄强先，等：零阿贝误差的纳米三坐标测量机工作台及误差分析 669变形产生的误差。z轴在力平衡系统下，其导轨受力大小不会因 z台的上下运动而发生变化 ，因此 z轴导轨不受力变形影响。

轴工作台是由安装在 z轴基座上的 2对交叉滚柱导轨提供运动导向。对 z轴工作台来说，其重量不变，重心位置恒定 ，当 z轴工作 台在 z轴基座上运动时， 轴基座上导轨的受力区域和大小会随 轴工作台的运动而发生位置变化，导致 z轴导轨产生与位移有关的力变形误差，同样 Y轴也存在相同的力变形误差。这种力变形误差与导轨 因加工和装配不理想而产生 的 自身运动误差影响效果相同。所以可将 z、Y轴导轨力变形误差影响综合到 、 导轨的运动误差 中考虑 ，故 、 轴导轨的力变形误差对测量结果也不会产生影响。

4 -等量块测量结果及分析纳米 CMM除存在工作台误差之外，还存在有测头误差、激光反射镜形貌误差、激光反射镜垂直度误差等。为了验证工作台误差理论性分析的可行性，除测头误差外，对剩余的其他误差进行了修正。由于纳米 CMM接触式测头存在偏心误差、测球等效作用半径误差、球度误差等误差项未修正[9]，尤其测头的球度误差至今在 国际上还没有得到合理的解决[1。。，难 以在 x-y方 向上满足测量精度要求 ，而这些误差对 向测量不会产生影 响，所以对-等量块的测量，主要是在纳米 cMM 的z方向上完成。为了避免量块与平晶间的研合间隙对测量值的影响，将 2和 5 mm的-等量块(检定值分别为 2.000 022和 5.000 024 rnm，由中国计量正 图 8 -等量块测量示意图Fig.8 Sketch graph of first gauge block measurement科学研究院检定)并列研合在 0级平晶工作面上，组成 H-3 mil的台阶高度如图 8所示。因此-等量块测量主要包括量块工作面平面度测量和台阶高度测量。

4.1 平面度测量测量 2 ITIrfl的-等量块工作 面平 面度 ，其采点布局如 图 8中 2 mrn量块 表面所示 ，测量 区域为 4 rnnlX 12 mID，共测量 6组数据 ，表 1是量块平面度测 量 的其 中- 组 数据 ，图 9是 6组 量块平面度测量结果 ，平 面度平 均值 为 8O.5 Nm，标准差达到 1 1 nm。

表 1 量块 平面度测量数据Tab.1 Measuring data of block flatness4 mm ×12 mm 801008O6040200图 9 量块平 面度测量结果Fig.9 Result of block flatness measurement4.2 台阶高度测量测量 2和 5 1Tim 的-等量块组成 的 3 mm 台阶高度，其采点布局如图 8所示。共测量 15组数据，表 2是台阶高度测量的其中-组数据，图 10是15组台阶高度测量结果，台阶高度平均值为3.000003 mm，标准差达到 21 Nm，与检定值(3.000 002ram)相差 1 nm。

昌 II，s∞岂 B1670 光学 精密工程 第21卷表2 台阶高度测量数据 5 结 论Tab.2 Measuring data of step height (mm)g毳鲁000 05000 04000 03000 02000 Ol999 99999 98999 97999 96Number ofmeasuring groups图 1O 台阶高度测量结果Fig.10 Result of step height measurement