装配机械手综合误差分析与误差元素建模研究

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机械手运动误差的研究，包括误差分析和误差综合与补偿，这对满足高精度的工作要求具有重要意义。误差元素建模是误差分析的关键和重要的技术。机械手误差分析是通过所建立的机械手误差综合模型，求出机械手末端执行装置在绝对坐标系内总的位置与姿态的误差。总的位姿误差是各个独立的误差分量的叠加。因此，需要建立各个误差元素的数学模型以计算总误差。

本文对装配机械手各部位的误差进行分析并综合建模，用回归分析方法推算误差元素的数学模型。

图 l是-平面关节型装配机械手，关节 2、3为转动关节，滚珠丝杠进给系统实现机械臂的升降运动。对于滚珠丝杠进给系统，由于丝杠的螺距误差，丝杠与导轨的安装误差，弹性变形等各种原因的存在，当滚珠丝杠的螺母沿z0轴运动时，其运动到任-位置都可能会产生 6个自由度的运动误差，即，3个位移误差：名义运动方向 向的直线定位误差 ：，沿 Y轴方向的偏移误差 6(z)，沿 轴方向的偏移误差6 (z)；以及3个转动误差：绕前进轴线的回转误差 ：( )，绕Y轴的俯仰误差6 ( )，绕 轴的偏摆误差艿 (：)，以齐次坐标变换法推导综合误差模型 。

坐标系O1 。Y z 对应的相对齐次坐标变换矩阵为：图 1 装配机械手 D-H坐标系Assembly manipulator D -H coordinate system1(：)- (：)O其中，。T1 。T1 xE1- (：)(：)O。Tl( )- ( )lO1 00 lO OO O0 00 01 d1O l艿 ( )( )d1 di，(z)1收稿日期：2013-05-12作者简介：倪骁骅 (1966-)，男，江苏盐城人，教授，博士，主要研究方向为光机电测控技术及智能机械。

· 6· 盐城工学院学报(自然科学版) 第 26卷1：( )- ( )O。E1 - ( )1( )0( )- ( )lO( )( )dl ：( )1与滚珠丝杠进给系统类似，转动副以及末端坐标系也存在 6项几何误差元素：3项平移误差(r)、 (r)、6 (r)，3项转角误差 (r)、 (r)、(r)。

理想情况下机械手末端相对于惯性坐标系的齐次变换矩阵为。 。 。 。存在误差的情况下，。

。 E (2)E (。 ) 。 (。 。 ) ；lc。 ；I： ： 术 。 ：Ic 。砰；lc ，lc ，lc(3)即为综合误差运动矩阵。基于小误差假设，当位移与角度较小时 COS 1，sin占 0，带人并舍弃二阶以上的小量，得到综合误差运动变换矩阵E的表达式为 J：E 1△ ，- △O- △ ，lA 00AOy A6- e A81 △O ly 1 l 2 2 e (5)e 称为残差，可看成是 Y 中 的近似替代。那么，残差目标函数 Q ei( -Yi)2根据最/b-乘法原理， 的值为如下方程组的解： -毫 - -矾-2砉 -岛- ) 。

(6)求解式(6)，即可得到 k1个解释变量的估计值： ，i1，2，3k。

2.2 多元线性回归模型检验2.2.1 F检验判断式(5)中， 与Y 之间在总体上是否具有明显的线性关系。用 F检验。其原假设和对立假设为： ： O：至少有-个 ≠0在 成立的情况下， ESS (后)，SSE～ X (n-k-1)，且二者相互独立，有：尸- ～F(kS n k 1 ，凡-]-1) E/(- -)(7)4 式中：TS：毫( - ) 为总离平方和；ES△6 ，A6 ，A6 为机械手末端相对于固定坐标系的位置误差，△ ，AOy，△ 为机械手末端的旋转误差。因此，根据(3)式与(4)式对应系数相等，可得到的表达式。它们都是以机械手各个误差源为自变量的函数。

2 误差元素建模根据齐次坐标变换法建立的装配机械手的综合误差模型，需要对各个误差源进行建模并求解才能得到末端执行器的综合位姿误差。现采用回归分析法对误差元素进行建模 J。

2.1 多元线性回归模型表现在线性回归模型中的解释变量有多个：Y ： 卢1 卢2 2 卢 式中：k为解释变量的个数；.，为回归参数；JB 偏回归系数； 为随机扰动项。

对于随机抽取的n组测量值，(Y ， )，i1，2n 0，1，2，J]，可得到有限的样本模型：∑(Y-Y) 为回归平方和；RSS：∑( -Y) 为剩余平方和。

给定显著性水平 ，查 分布表得 F (后，n-- 1)，由式(7)求出 F的值，如果 F≥F ，则选择拒绝 ，反之则接受。

2.2.2 拟合优度检验R --慧 (8)尺 的值越接近 1，模型的拟合度越好。

2.2.3 调整的拟合优度检验由式(8)知，如果增加 的个数，R 的值便会增大，然而事实是增加 个数而造成的 变大与拟合好坏无关，因此需对 尺 进行优化。因而，将 TSS与RSS分别除以它们的自由度，可以消除数目的变化对结果造成的影响4 J： 1- (9)2.3 误差元素建模机械手的几何误差值随着机械手手臂及关节第 2期 倪骁骅 ，等：装配机械手综合误差分析与误差元素建模研究运动位置的不同而不同，以关节 1为例，在坐标系0， 。)， 几何误差 6 ( )可表示为机械手臂位置z的-元多项式：6 (。)aoal a2z 0 (10)其中 6 (：)为误差的测量值，：为坐标值，a 为待定系数。

令：1； 2。 ， ： ，则式(10)可以表示为 6 (：)ao01。a2z am ，是-个多元线性回归方程，所以(10)可以用多元线性回归模型的相关理论来求解。求出几何误差的模型之后，将机械手臂沿 z 轴运动的坐标带人，即可求得机械手臂在这点沿 轴的偏移误差。

2.4 几何误差元素建模实例多项式的阶数 m-般不会超过 5，m值太大会引起复杂的计算，浪费时问，且相邻的拟合点之间会存在明显震荡，m值太小则会造成拟合效果不好∩以通过比较 R ，SSE等参数来确定最优阶数 。

以机械手的 o2x2， 2 2坐标系原点 o 为测量点，每间隔-秒钟进行-次测量，结合相应的误差分离方法，减去o 点处的误差对 o 点的影响，得到o 点处沿着 轴的定位误差随时间变化的曲线，如图2所示。

t/s图2 点沿 轴方向的误差Fig.2 Error point along the X axis- 般使用的多项式模型阶数不会超过 5阶，由2.4节可知，阶数m取不同值时的各项参数如表 1所示， 表示取 a：0.05时查 F分布表得到的临界值。

由表 1可知，当 m：3时，其残差平方和 E最小，而且它也通过了F检验 ，所以采用 m3时作为其最优阶数，使用多项式回归建模得：6(t)-2.815 41.0281t-0.0621t 0.000 02t3表 1 阶数 m不同取值时的模型参数Table 1 The model parameters for differentvalues of the order of m，n1 m 2 m 3 m 4 m5R 0.634 6 0.88 0.930 4 0.840 4 0.774 6R2 0.725 4 0.865 0.917 3 0.797 9 0.694 1SSE 56，99 18.667 3 l0.9l1 8 25.154 6 35.319 9， 31.5 62.876 72.263 19.614 9.624F 4.41 3.59 3.24 3.04 2.96阶数 ，n3时的误差的测量值、拟合值及残差曲线如图3所示。

图3 多元回归分析法所得的拟合值与残差Fig.3 Multiple regression analysis to fit thevalue and the residual income由图3可知，拟合后的残差范围在 -0.75～0.5 mm内，具有比较高的精度。此时，将任意时刻的t值代人拟合模型，即可得到该时刻 0 点处沿 轴方向的偏移误差。

2.5 拟合值与软件仿真的比较利用有限元软件分析的方法 J，将机械手臂以及各导轨、滚珠丝杠等元件看作柔性梁，并在各个关节处添加摩擦力 ，得到如图4所示的误差曲线。

通过比较图3、图4的残差曲线可知，图3中的残差曲线更接近实际测量得到的误差值。究其原因，由于实际应用中，机械手臂的材料分布不均匀，机械手各关节处存在随机误差等各种原因的存在，造成有限元仿真分析并不能真实反映实际应用中装配机械手末端的误差。

。 0 · 8· 盐城工学院学报(自然科学版) 第26卷图4 有限元软件所得的曲线与残差Fig.4 Curve and residual finite elementsoftware income3 结论结合装配机械手的结构特点，建立了机械手的误差综合模型，并用回归分析法对机械手各个误差源进行建模。用该方法得出的建模曲线与软件仿真得出的各误差源随时间变化的曲线进行比较，证明了该方法的优越性，为以后机械手的误差补偿打下基矗