基于筋板式基结构的大口径空间反射镜构型设计的拓扑优化方法

本资料包含pdf文件1个，下载需要1积分

研制大口径的空间光学反射镜是提高空间光学系统分辨能力的途径之-，但口径的增加势必造成重力变化 ，从而引起 的镜面变形的增大，造成成像质量的下降。另外，系统的质量也直接影响光学系统的发射成本。因此，镜体结构轻量化设计方法对确保大口径空间反射镜的光学成像质量和降低发射成本十分重要，已成为大型空间光学系统设计的关键技术之- 。

反射镜轻量化的主要途径l 包括选用轻量化材料，以及进行反射镜轻量化设计，获得更高效的结构构型。在轻量化材料选取方面，由于 SiC材料与传统的微晶玻璃、金属铍等反射镜基底材料相比，具有密度低、比刚度大、热膨胀系数孝导热性好、抗辐 照性和抗热振性好 、无形状滞后现象 、强度和硬度适当等优异物理和机械特性，已经成为空间反射镜体的首选材料之-l26l。

郭喜庆等 和俞天野等8 采用有限元等数值分析方法，通过分析对比不同轻量化结构的刚度、热稳定性和轻量化率等，确定了-种最优的轻量化结构。在这些工作中，通过分析比较可在已有的结构形式中获得-种较优的轻量化设计方案，但受轻量化传统结构形式的制约，在轻量化率方面还没有大的突破。

为了获得轻量化率更高、性能更优的反射镜结构构型，需要研究新的设计理论和方法。拓扑优化能够获得结构的拓扑形式，是概念设计阶段结构新构型设计的有效方法，并在许多领域有重要的应用g]。因此，拓扑优化方法在反射镜轻量化结构构型设计中有很好的应用前景。目前国内外学者尝试。 在镜体结构的轻量化设计中应用拓扑优化技术 如 Park等人o]基于三维实体镜体，以实体单元密度为设计变量，利用拓扑优化技术设计了第--块轻型反射镜，其反射镜轻量化率达到 78 。国内长春光机所在理论上也做 了-些初步尝试 .获得了比常规反射镜结构更轻的结构[1 ]。反射镜结构设计的理想构型将是性能优异且易于加：[制备的筋板式结构，而基于三维实体模型的拓扑优化不仅计算量大，而且往往会出现的-些现有技术无法加工 的镜体构型，很难获得目前加工技术较为成熟的加筋形式镜体结构，因此需要研究-个能获得加筋形式镜体构型的反射镜拓扑优化方法。

桁架结构拓扑优化常采用基结构法”引，即以基结构作为初始设计，利用优化算法优化结构形式，通过删除构件尺寸(例如，桁架结构杆截面面积等)为 0的单元或基于某些准则删除或恢复某些构件来：实现结构拓扑的变更。受这种骨架类结构拓扑优化方法的启发，在对反射镜做拓扑优化时，可以将现有的设计域离散为-个筋板式的结构。基于这样的初始设计域做拓扑优化，通过第7期 刘书田，等：基于筋板式基结构的大口径空间反射镜构型设计的拓扑优化方法优化决定每块板筋的有或无来实现反射镜结构拓扑的改变 ，有望获得-个筋板式 的具有可制造性的反射镜轻量化结构。根据这个思想 ，本文提 出- 种基于筋板式基结构的大口径空间反射镜构型设计的拓扑优化方法，并通过设计实例验证了方法的有效性和可行性。

2 反射镜拓扑优化模型2.1 基结构形式本文选择-种镜面背部已经布置了加筋板的传统轻量化镜体结构作反射镜基结构。对于传统的大口径反射镜轻量化结构形式，已经有很多学者做了相当多的研究，常见的轻量化孔结构形式主要有三角形、扇形、六边形、四边形和圆形等。

其中扇形轻量化孔-般应用于带有中心孑L的圆形反射镜的轻量化。圆形轻量化孔可以看成是六边形轻量化孑L的简化。在保持相同的几何尺寸的情况下，三角形轻量化孑L形式的面形精度要优于六边形和四边形孔，刚度更高，但其质量也较大，轻量化率要略低于后两者。六边形或圆形轻量化孔形式 ，主要是用于半封闭式的结构形式，四边形轻量化孔更适合用于镜体周边支撑的结构形式 。

因此 ，针对背部开放式以及采用背部支撑的情况，综合考虑各种轻量化孔的性能，本文选择三角形轻量化孔形式的筋板式反射镜作为基结构。

2.2 设计变量以上述筋板式基结构为基础，结构构型的变化可由各筋板或部分筋板的有无来描述。根据连续体结构拓扑优化的思想，将各筋板采用有限单元离散，每个单元引进-材料的有无描述因子 p，通过因子取 1或 0描述该单元区域是否存在材料 。根据拓扑优化的 SIMP方法 ，单元的材料属性取为所选材料为基体的多孔材料，并将其相对密度选为材料的描述因子；单元的材料性质(例如弹性模量)可表述为 ：E - ( )PE。，V：- p.V ，P- 1，2， ，Nele，(1)其中：Nele表示单元总数， 、E 和 分别表示第e个单元的材料密度、弹性模量和实心材料的体积(或面积)。Eo为给定材料(p-1时)的弹性模量，V 为第e个单元的体积(或面积)，P为惩罚因子。惩罚因子 P取为大于 1的实数，本文取为 3。

由式(1)可知， 等于 1或 0分别表示该单元的材料 取 为所选取 的材料 或 空材 料 (表 述无 材料)。因此，结构的构型可由各单元的材料指示数(材料相对密度)描述，构型设计问题的设计变量可表示成 ：X - (101，lD2， ，10№k) . (2)2.3 优化问题的数学模型反射镜结构构型设计的目标是在满足镜面面形误差的条件下，最携材料用量。此时设计的目标函数可取为反射镜体的总重量，其定义为：Nele，(x)：： V . (3)- 1反射镜镜面面形误差通常采用 PV(镜面相对于理想面形 的峰和谷值之差)和 RMS(面形均方差)两个光学指标描述 。镜面的偏差包括加工误差以及工作环境变化引起的作用荷载变化造成的镜面变形。本文主要考虑在地面加工状态以及空间(微重力)工作状态的重力荷载变化引起的镜面变形造成的面形差 。此时，PV 和 RMS分别定义为 ：PV - maxU1，U2，，U )-minUl，U2， ，U )/1 NsRMS-√ n∑l (4)其中： 表示镜面上单元节点在沿光轴方向的自重荷载作用下的位移，Ns为镜面上的节点总数。

对于高精度的光学镜面，PV值与 RMS值会存在-个倍数关系，随着 PV值的减小，RMS值- 般也会降低Ll 。因此在优化问题的数学模型中，为了提高计算效率，本文仅选择 PV值的上限作为设计约束，RMS值通过有限元分析求得的数据计算后再来校核。

为使优化设计出反射镜结构在周向具有-定的对称性，根据结构对称模式的不同，可以对模型施加不同的模式组约束 。对设计空间施加模式组约束后，即使是在网格、边界条件不对称的模型中也可以强制生成非秤近于对称的结果 。本文研究的圆盘反射镜，需要施加周向循环对称的模式组约束，约束方程为：D (z)- 0， (5)式中：D (X)表示第k组单元之间的对称关系。

本文定义的筋板式基结构由-定厚度的镜面板(壳)、背部加筋板和支持孔组成。镜面板(壳)光学 精密工程 第21卷和支撑孔是根据实际需求预先确定的。因此，在优化设计过程中镜面板(壳)和支撑孑L区域为非设计区。非设计区域通过令材料的相对密度为 1实现。

镜体的拓扑优化数学模型可描述为：Find X - (p1，P2， ，pNe )NeleMinimize厂(x)∑ V 1Subject toPV- maxu ，U ， ，UM- (6)minU1，U2，，己， ≤ UD (X)00< lD 。 ≤ lD( )≤ 1式中：，为镜面面面型误差 PV值的约束上限值，i 是为了避免优化过程中出现刚度阵奇异而设定的单元相对密度下限值(通常取 0.001)。

镜面结构 的位移由下式表示的有限元法方程获得 ：K(X)U - F(X)， (7)其中：K、u、F分别为结构整体的刚度阵、位移向量和载荷向量。外力向量为沿光轴方向的重力荷载向量。因为重力荷载与结构构型相关，即荷载依赖于设计变量。因此，式(6)表示的镜面构型设计优化问题为-个设计相关荷载作用下的结构拓扑优化问题 。

3 新构型的提取本文借助 OptiStruct软件采用序列近似凸规划法求解拓扑优化问题(6)。新构型的提全基于拓扑优化结果中各单元的相对密度进行材料的去除。材料去除过程由人机交互完成。

对于筋板式的反射镜结构，拓扑优化的结果会出现每块加筋板上都呈现不同的材料分布，其中单元密度接近为 0的区域可能会出现在加筋板的内侧、中间和外侧部分。但考虑到反射镜在加工制造过程中的可制造性约束，不宜在加筋板内部形成孑L洞 ，因此对 于只在 内侧或中间区域 出现单元密度接近为 0而在外侧单元密度仍为 1的加筋板上的材料都将予以保留，所去除的材料只是位于加筋板上偏于镜体背部-侧的那部分材料。

同时，为了避免在加工过程中反射镜镜面出现由于抛光压力而产生的网格效应”，减少镜面的局部变形，可以在对加筋板上的材料进行优化去除的时候保留-·定的高度。此外，为使优化设计出的反射镜结构在几何上具有-定的规则性，将主要采取拉伸或旋转切除的方式来切除材料。

按照上述方式提取出的反射镜结构构型之后，对反射镜结构进行动静刚度分析与光学性能分析，并将各项性能与反射镜的设计要求进行比较，若满足要求，则优化结束，若不满足，则可以在所得到的反射镜构型的基础上再进行-轮优化，如图 1所示，勾此优化方法的流程图，根据此迭代规则，直至满足对反射镜各性能的要求，所得到的即为设计出的反射镜结构新构型。

镜体主要尺寸参数、性能要求I确定筋板式基结构形式中 人机交互地对镜体结构进行优化l结构动静刚度分析与光学性能分析- 获得反射镜轻量化结构创新构型图 1 优化方法流程图Fig.1 Flowchart of optimization method4 设计 实例作为实例题，设计了-大口径空间光学反射镜的背部支撵结构形式，以使反射镜在光轴方向重力荷载变化工况下的面形误差满足：PV≤1/IOA，RMS≤/40A，其中 632.8 nm；镜体轻量化率达到 85/” o；动刚度要求：第-阶 自振频率大于1 000 Hz。镜体口径为 2 020 mm，镜体外边缘厚度 300 mli ，其反射面形为球面，镜面曲率半径为9 981 mm.选用 SiC作为镜体材料，SiC的材料参数为：弹性模量 420 GPa，泊松比 0.17，密度3.16 g/cm。。实体镜质量为2 692.3 kg。

第7期 刘书田，等：基于筋板式基结构的大VI径空间反射镜构型设计的拓扑优化方法4.1 初始筋板式基结构选择综合性能较好的三角形孑L加筋形式的轻量化镜体作为初始的筋板式反射镜基结构。镜面背部为开放式，采用背部九点支撑的方式，镜体几何模型如图2(a、b)所示，其主要几何参数见表 1，其中：t 为镜面板厚度 ，t 为加筋板厚度 ，a为三角形加筋孑L边长，d 、d 分别为内、外支撑孑L中心到镜体中心的距离，D为支撑孔口径，t 为支撑孑L壁厚，a为内、外支撑孑L中心与镜体中心连线之间的夹角。基结构镜体的质量为 556.0 kg，相对实体镜(2 692.3 kg)，其轻量化率为 79.3 9/6。

(a)l/6模型(a)l/6 model(b)整体模型(b)Whole model图 2 (a、b)基结构 的几何模 型镜面板与加筋板采用线性壳单元来离散，有限元模型如图3所示。采用有限元法对反射镜基结构进行静力和模态分析 ，结果表明，在光轴竖直的工况下 ，镜体 由于 自重产 生的镜面面形 的 PV和 RMS值分别为80.1 nm和 19.8 nm，镜面变形如图 4所示(彩图见期刊电子版)；镜体的-阶自振频率为 1 913.4 Hz；由对反射镜基结构的分析结果可知，传统的轻量化结构形式可以接近对镜体刚度的要求，但轻量化程度还远远不够。

图3 基结构有限元模型Fig.3 FEM model of the ground structureE图 4 基结 构镜面变形图Fig.4 Deformation of ground mirror surface表 1 镜体的主要几何参数尺寸 二m mDm mthm 二参 数值 5 4 8O 465 831.6 130 20 31.254.2 拓扑优化结果与新构型采用优化软件 Optistruct求解优化问题(6)，经过 490迭代 (目标 函数的迭代历史见图 5所示 ，其中后 440步到 490步迭代曲线在图中放大显示)，获得了镜体的拓扑优化结果，如图 6(a)、(b)所示(彩图见期刊电子版)。图中红色表示密度为1的单元，是需要保留的部分，蓝色表色密度接近为 0的单元，是可以去除的材料。

图 5 优化迭代历史Fig.5 Iteration history of optimizationM)I/∞ 苫光学 精密工程 第21卷(a)完整的结果云图(a)Whole result contour plot(b)I/6的结果云图(b)l/6 restlt contour plotA图6 基结构的拓扑优化结果云图Fig.6 Topology optimization result contour plots ofground structure在拓扑优化结 果中，将蓝色低密度单元 比较集 中的部分标识为 A、B、C、D、E区域 ，如图 6(b)所示〖虑到镜体的可制造性约束，不宜在加筋板 内部形成孔洞 ，因此对于如 E区域所示的位于加筋板内部、靠近镜面部分的这-类低密度单元，将予以保留，优化改进措施 是减 少 A、B、C、D区域位于加筋板外侧、靠近镜面背部的低密度单元处的材料。

图 7 优化改进措施示意图Fig.7 lmprovement measures伸切除另外 ，为了使设计出的镜体在几何结构上具有-定规则性 ，将主要采用拉伸和旋转切除的方式来改进 镜体 材料 的分 布，具 体切 除方 式如图7所示(彩图见期刊电子版)，对 A、B区域利用-个水平面和-个斜平面来拉伸切除，对 C区域利用与前面相同高度的水平面拉伸切除，对 B、D区域分别用-个旋转锥面来切除，所使用的拉伸平面与旋转锥面的母线在图 7中用红线标识，切除面详细尺寸参数如表 2所示。其中 H1、l 1分别是水平面距镜面背部的高度，L2为斜平面的宽度，H2、R2分别为 B区域旋转锥面的高度和半 径 ，H3、R3分别为 D区域旋转 锥面的高度和半径 。优化后镜 体 的几何模 型如图8所示 。

表 2 切 除面 尺寸参数Tab.2 Size parameters of cutting surface图 8 优化后得到镜体几何模型Fig.8 Geometric model of optimized mirror图 9 优化后镜面变形图Fig.9 Deformatin of optimized mirror surface利用有限元法对图8所示的优化后的模型进行分析，在光轴垂直的工况下，通过静力分析得到镜体由于自重产生的镜面变形如图 9所示(彩图-醺睡第7期 刘书田，等：基于筋板式基结构的大口径空间反射镜构型设计的拓扑优化方法 1809见期刊电子版)，计算得到改进优化后镜面面形的PV值、RMS值分别为 62.7 nlTl和 15.6 nm，满足了误差要求，PV≤1/1oa，RMS≤1/40A，其 中-632.8 niTl；通过模态分析得到主镜的第-阶自振频率为 2 268.5 Hz，满足动态刚度要求；镜体质量 378.0 kg，与实体镜相 比，轻量化率为86.0 。

与基结构相比，PV值和 RMS值分别降低了17.4 DITI和 4.2 nm，第- 阶 自振频率提 高了355.1 Hz，满足反射镜设计的性能要求；镜体质量减少了 178.0 kg，减轻了基结构 32.0 的质量，实现了很好的轻量化。