基于LMD近似熵和FCM聚类的机械故障诊断研究

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振动信号为机械故障信息的载体，对其进行分析是故障诊断的常用手段。对振动信号的处理包含2个重要过程：信号特征提韧故障状态识别，传统提取方法较适用于平稳信号处理，在处理非平稳信号时显得不足；受噪声、结构变形、速度突变等因素的影响，机械振动信号通常表现非线性非平稳特l生，因而用传统提取方法对其处理存在-定的局收稿日期：2012-05 Received Date：2012-05基金项目：国家自然科学基金(51075349，61077071)、河北省自然科学基金(F2011203207)资助项目第 3期 张淑清 等：基于 LMD近似熵和 FCM聚类的机械故障诊断研究 715限性。

模态分解(enpirical mode decomposition，EMD)作为-种具有自适应性的新方法能够降低分析过程中分辨率的限制且适用于非线性非平稳信号 ]，但该方法存在欠包络、过包络、端点效应等不足 ]，使 EMD分解的准确度降低。Smith提出了另-种自适应时频分析方法局部均值分解(LMD)，它能将复杂的多分量信号分解为-系列单分量的纯调幅-调频信号即PF分量，可有效地提取信号的特征信息。由于运算机理 的不同，LMD的迭代次数往往 比EMD少，这在-定程度上可抑制端点效应 ，此外 LMD还解决了欠包络和过包络问题，PF分量 比EMD的 IMF in-trinsic mode function分量保存了更多频率和包络信息，因此从这些方面讲，LMD要比EMD更具有优越性。

近似熵是-种基于边缘概率分布统计的时间序列复杂度度量方法，其所需数据长度短、抗噪能力强，且同时适用于随机信号和确定性信号 。以近似熵量化机械振动信号，借助其包含的复杂度信息，可达到特征量提取的目的。机械发生故障通常是-个渐变的过程，提取的特征往往具有模糊性，直接通过特征值辨识故障存在-定的难度，而以模糊数学为基础的聚类分析方法为解决这类问题提供了-种可行的途径。模糊c均值聚类(FCM)是模糊聚类中应用最为广泛的-种算法，它依据数据样本间的相似度，通过迭代优化目标函数，将相似度高的样本对象划分为同-类来实现数据的分类。因而，作为-种模式识别方法，FCM聚类在机械故障诊断中得到了广泛的应用 -， 。

本文提出将 LMD近似熵和 FCM模糊聚类结合的方法运用到机械故障诊断中，即将机械振动信号 LMD分解所得 PF分量的近似熵作为特征向量，输入到 FCM模糊聚类分类器中，实现不同类型机械故障的分类识别。通过对滚动轴承故障试验分析，证实该方法可行。

2 局部均值分解原理局部均值分解(LMD)是-种自适应时频分析方法，它由信号自身数据驱动，自主地确定信号在不同尺度上的分辨率，进而优化分析过程。它基于信号的局部极值点，通过滑动平均循环迭代实现 辞。LMD从原始信号中分离出纯调频信号和包络信号，将纯调频信号和包络信号相乘便可以得到-个瞬时频率有物理：卷义的PF分量，循环至所有PF分量都分解出来，便可得到原始信号的时频分布图。

其具体算法如下 ：1)确定任意信号 a：( )的局部均值函数 m。(t)和包络估计函数 a (t)：首先找出信号 (t)所有的局部极值点 n。，然后计算相邻两个极值点的平均值 m 和包络估计值 a ，即：n 4-ni1m - - (2)对于所有的平均值m；和包络估计值a ，分别用直线将相邻的点连接起来构成 2条折线，再通过滑动平均法对折线进行平滑处理，即得到局部均值函数 m。。(t)和包络估计函数 a。(t)。

2)在原始信号 (t)中将局部均值函数 m，(t)分离出来 ，得 到 ：hll(t) (t)-m。。(t) (3)3)对 h。。(t)进行解调，即用 h。。(t)除以包络估计函数 aIl(t)：ll(t)hl(t)/al(t) (4)根据步骤 1，求取 s。 (t)的包络估计函数 a。 (t)，若a (t)为恒为1的常函数，即a。：(t)1，则说明s. (t)为-调频信号。如果不满足该条件，则将 s，。(t)作为新的数据源，重复上述步骤，不断迭代直至得到调频信号S。 (t)，此时s (t)的包络估计函数afI 1(t)1，且l s (t)I≤1。

在实际应用中，终止条件可为：a (t) 1，这样有助于减少迭代次数，进而提高运算速度同时还能降低端点效应的影响。

4)确定原始信号分解的第 1个分量 PF.(t)：PF。(t)a。(t)S (t) (5)式中：a。(t)为包络信号，即 PF，(t)的瞬时幅值函数，它是上述迭代过程中所有包络估计函数的乘积：。。( )口 。( )o， ( )n。 ：兀n。 ( ) (6)5)从原始信号 (t)分离出来 PF。(t)，得到-个新的信号 u。(t)，将 1， (t)作为原始数据重复步骤 1～4，循环 k次，直到 u 为-个单调函数为止。

) (t)-PFl(t)) l( )-PF2( ) (7)) -.(t)-PF (t)至此，将原始信号 (t)分解为k个PF分量和 1个单调函数 之和，即：( )∑PFi(t)UkJ3 近似熵理论(8)已知- 个包 含 Ⅳ个 数据点 的 时 间序列 (1)，(2)，， (N)，其近似熵算法如下：1)预先确定模式维数 m进行相空间重构，即顺序提取时间序列中的元素，构成-组 m维矢量 (i)：X(i)[ ( )， (i1)，， (im-1)]； 1，2，，N-m1 (9)2)将矢量X(i)与X(j)对应元素中最大差值定义为716 仪 器 仪 表 学 报 第 3 4卷两者之间的距离 d[X(i)，X(j)]即：d[X(i)，X(j)]，m ax.I (ik)-x(jk)l(10)3)给定相似容 限 r的阈值，统计 小于 r的距离d[X(i)，X(j)]的数目Numd[X( )，X(j)]

4) (r)表示矢量序列 的自相关程度，它是所有 i对应的 cm(r)的对数平均值 ：- Ⅳ lq)m(r) 南 n c (r) (12)5)将模式维数 m加 1，构成-组 m1维矢量，重复上述步骤可得到 (r)。

6)根据 (r)和 (r)求取理论上该时问序列的近似熵 ：ApEn(m，r)!im[ (r)- - (r)] (13)在实际工作中数据长度 Ⅳ多为有限值，按照上述步骤得到的是序列近似熵的估计值记为：ApEn(m，r，Ⅳ) (r)- (r) (14)近似熵本质上是-个关于序列和参数的统计值，它的大小与数据长度Ⅳ、模式维数 m和相似容限r有关。为了得到较好的统计特性以及较小的伪差，数据长度 Ⅳ通常在100～5 000取值，嵌人维数m-般取1或2，相似容限r取0.1～0.25倍的序列标准差 。 ↑似熵用来度量时间序列的复杂性，而信号 LMD分解后的 PF分量为依次从高频到低频的时间序列，故用近似熵对 PF分量进行量化，可实现以PF分量的复杂性作为目标的有用信息提龋4 模糊 C均值聚类模糊 c均值聚类是基于目标函数的聚类算法中最为经典的-种，通过对传统硬聚类算法进行改进，以基于误差平方和的目标函数实现对数据样本的迭代优化分类，即通过极携所有数据点与各个聚类中心的欧氏距离及模糊隶属度的加权和，不断迭代修正聚类中心和分类矩阵到符合终止准则，将具有相似特陛的数据样本聚为-类 ]。

已知数据样本集合 ， ：，， 的模糊分类矩阵U[ ] 和聚类中心向量V[ ， ，，l， r，其中c为聚类中心个数，n为样本个数， 为任意数据点xj相对于聚类中心 的隶属度，且 满足 ∈[0，1]、∑/x 1和∑ >0，1≤i≤c，1≤ ≤n。

d 为数据点 到聚类中心 的欧氏距离，则：d l -l， lI(-'， ) (Xj-'， ) (15)为了得到分类矩阵 ，定义 FCM的目标函数为：.，(U， )∑∑uqmd (16)式中：m为模糊加权指数，为了得到较好的结果 m必须满足m >1，通常取2即可。从式(16)可以看出目标函数实质上是各样本到聚类中心的加权距离平方和，其值越小，表明样本依附聚类中心越紧致。FCM聚类实质上就是求能够使 目标函数.，( ， )最小的分类矩阵 和聚类中心，的迭代过程。其步骤如下：1)确定聚类中心个数 C和模糊加权指数 m，初始化分类矩阵 U ：[ 迭代次数 z0。

2)计算所有样本的 C个聚类中心： ∑u /∑M (17)3)更新分类矩阵 U：u 1/∑( ) (18) l、4)对于给定的精度8>0，若满足 Il - l

聚类效果可通过分类系数和平均模糊熵进行检验分类系数的定义为：1 n cF÷∑∑u (19) l E I平均模糊熵定义为：1 n cH-÷∑∑U/iIn (20) ， 1 1分类系数 F越接近 1，聚类效果越好； 值越接近 0，聚类效果越好。

5 实验分析实验数据采用美国华盛顿凯斯西储大学(Case West。

era Reserve University)电气工程实验室的滚动轴承数据。

测试轴承为深沟球轴承的驱动端轴承，型号为 SKF6205，轴承的局部损伤是 由电火花机人工加工制作，并通过安装在感应电动机输出支撑轴承上端机壳上的振动加速度传感器进行测量。

5.1 不同类型故障分类对轴承正常、滚动体故障、内圈故障、外圈故障 4种类型信号分析，轴承转速为 1 797 r/min，采样频率为12 kHz，每个数据样本长度取 2 048。采用 LMD对原始信号进行分解，以内圈故障信号为例，其分解结果如图 1所示，可以看到分解出6个 PF分量和-个剩余分量。理想情况下，每-个 PF分量都会与信号-种成分相对应，第 3期 张淑清 等 ：基于 LMD近似熵和 FCM聚类的机械故障诊断研究 717即各个分量反映信号不同的特征成分。

采样点数图 1 内圈故障信号 LMD分解图Fig.t Decomposition diagram of inner racefault signal with LMD由于受到平滑包络估计函数、迭代次数以及步长等的影响，LMD中存在虚假分量。为了找出能够反映原始信号特征的真实分量，可通过相关性分析，对 PF分量进行筛眩互相关系数表征序列间的关系，其值越大说明序列问关系越大，此处可用来判定分量包含原始信号信息情况。

将各 PF分量分别与相应的原始信号进行互相关分析，运算得出前3个分量与对应原始信号的相关系数均大于0.1，且大于其余分量的，故可认为前3个分量最能反映原始信号的特征。对前 3个 PIe分量进行重构，计算原始信号及重构信号的均方差和峭度，得到原始信号的均方差为0.288 7及 峭度为 5.508 8，重构信号 的为 0.208 3和5.181 8，2种信号的特征统计量相近，说明重构信号中包含了原始信号的大量信息，因此相关性分析是有效的。

- 方面已获知前 3个 PF分量包含了原始信号的大部分信息，同时之后的模糊聚类三维图的构成需要 3组特征量；另-方面若是：选取更多的分量，将会增加运算量，即降低运算速度和诊断效率，因而选取前 3个 PF分量作为近似熵的数据源。

在近似熵计算中，当模式维数m取2比取1时，其所反映的产生新模式的概率包含更多信息，因此选择 m 20从图2可知，正常轴承信号PF分量的近似熵与相似容限r成单调递增关系，且近似熵值较小，其他类型轴承信号也有该特点↑似熵值较小，则不同类型信号分量近似熵之间的差异也会较小；如果r更小，这种差异会随着近似熵变小而变小，可能会导致4种信号分量近似熵出现混淆，而在之后的状态识别中出现分类误差。因此在选取r时，应该尽量让近似熵的值大-些，故选取r0.25。

，图2 轴承正常信号 PF分量不同r值下的近似熵Fig.2 Approximate entropy values of the bearing normalsignal PF components for diferent r当m 2，r：0.25时，求取前 3个 PF分量的近似熵，结果如表 1所示。从表 1中知道不同类型信号的各PF分量的近似熵存在-定的区别，这说明不同信号不同尺度的复杂度是不同的，可通过对信号的复杂度进-步分析实现故障诊断。

表 1 4种类型信号前 3个 PF分量的近似熵Table 1 The approximate entropies for the first threeproduct function components of four kinds of signals对轴承4种类型信号各取 30组数据作为样本，根据上述分析求取所有样本前 3个 PF分量的近似熵，构成-个 120 X 3的数据矩阵，并将该数据作为聚类分析的特征向量矩阵，通过 FCM模糊聚类进行分析。在分析的过程中聚类中心个数 C4，s0.000 1，对数据进行标准化处理，经迭代计算并不断修正聚类中心，直至收敛为止。聚类结果如图3和4所示，其中图3为 FCM聚类的三维空间分布图，图4为二维投影聚类等高线图，0为聚类中心。

。.2OO图3 LMD近似熵的三维空间聚类图Fig.3 The 3 D clustering diagram of LMD approximate entropy718 仪 器 仪 表 学 报 第 3 4卷矢量图4 LMD近似熵的二维聚类等高线图Fig.4 The 2D clustering contour diagram of LMDapproximate entropy通过 3、4两图可知，120组样本数据经过处理后围绕在4个聚类中心周围分布，且不同聚类中心周围分布的数据间没有明显的交叉混叠现象，在同-个聚类中心分布的为同-种故障类型信号的数据样本。经过 FCM聚类处理后，所有数据样本因为同种类型信号样本相似度高的特点，按照故障类型被分配到不同的聚类中心周围，这说明基于 LMD近似熵和 FCM聚类的方法在机械故障诊断中具有良好的识别效果。

依据同样的原理，对 4种类型信号的 120组数据样本用 EMD近似熵和 FCM聚类相结合的方法处理分析，即对轴承 4种类型信号用 EMD分解 ，通过相关性分析选出与原始信号相关性最大的3个 IMF分量，求取其近似熵作为特征向量用 FCM聚类进行处理分析，其分析结果如图 5和 6所示 。

图5和图6说明基于 EMD近似熵和 FCM聚类的方法同样能够达-定的识别效果。由于不同的分解方法从原始信号中分解出的分量所包含的原始信号成分有所不同，因此最终通过 FCM处理后的数据样本的聚类中心以及具体分布状况是不同的，分别对 比图 3和图 5及图4和图6便可以看出。为了分辨出2种方法中哪种相对更具有优势，根据式(19)和式(20)，对上述 2种方法的聚类效果通过分类系数和平均模糊熵检验，结果如表 2所示图5 EMD近似熵的三维空间聚类分类图Fig.5 The 3 D clustering diagram of EMDapproximate entropy矢量图6 EMD近似熵的二维聚类等高线图Fig.6 The 2D clustering contour diagram of EMDapproximate entropy表2 LMD和 EMD聚类效果检验Table 2 The examination result of clustering efect通过表 2可以看到，LMD近似熵和 FCM聚类结合的方法的聚类分类系数 F要比EMD的大，即更接近 1；而平均模糊熵值 日要比EMD的小，即更接近 0。分类系数值越接近 1，聚类效果越好；平均模糊熵值越接近 0，聚类效果越好，根据这个理论可以得出：基于 LMD近似熵和 FCM方法的聚类效果要好于基于 EMD近似熵和FCM的方法。2种分解算法机理不同，由于包络线定义的方法不同，LMD在端点附近未定义的包络线较短，端点效应的程度相对而言较轻，其次在分解过程中LMD的迭代次数要小于 EMD的，分解过程 中的误差累积便相对要小，故各 PF分量包含的原始信息更多，也就使得 LMD近似熵的聚类效果相对更好-些。

5.2 不同损伤程度故障诊断为了进-步验证该方法在轴承故障诊断中的有效性，对不同程度损伤的内圈信号进行实验验证。在该实验中，包含正常、轻微损伤和严重损伤 3种类型，其中轻微故障的损伤直径为0.177 8 inn，严重故障的损伤直径为0.533 4 mm。

对于不同类型的振动信号分别取25组数据，每-组数据长度为2 048。依据上述方法步骤，分别对75组数据进行 LMD和 EMD分解，依据上述的分量选取方法，最后选取前3个分量作为数据源，再分别计算近似熵～2种不同分解方法得到的近似熵分别构造成 2个75×3的特征矩阵，进行 FCM聚类分析，结果如图7和 8所示。

从图7和图8可知，对于不同损伤程度的轴承振动信号，基于 LMD近似熵和 FCM聚类的方法与基于 EMD近似熵和 FCM聚类方法均可有效区分故障类型，说明这2种方法在不同损伤程度的故障诊断中同样具有可行第 3期 张淑清 等 ：基于 LMD近似熵和 FCM聚类的机械故障诊断研究 719性。图7中的数据样本与图8中的相比聚类分布更加紧致，说明基于 LMD近似熵和 FCM聚类的方法分类效果相对更好。表3为 2种方法的聚类效果检验结果。

矢图 7 LMD近似熵聚类图Fig.7 The clustering diagram of LMD approximate entropy矢量图 8 EMD近似熵聚类图Fig.8 The clustering diagram of EMD approximate entropy表3 LMD和EMD聚类效果检验Table 3 The examination result of LM D and EM Dchustering efects表3中的数据显示，基于 LMD近似熵的聚类方法，其分类系数要大于基于 EMD的；而平均模糊熵要校从聚类检验指标上同样可以证明，基于 LMD近似熵的 FCM聚类方法更为优越。

6 结 论局部均值分解作为-种 自适应的信号处理方法 ，能够将复杂的多分量调幅.调频分解为单分量的调幅-调频信号，而其分解得到的 PF分量的近似熵，能够反映信号不同尺度的复杂性，用该近似熵作为特征向量，能够为机械故障的模式识别提供良好的依据。

将基于局部均值分解近似熵和模糊 c均值聚类的方法应用到机械故障诊断中，通过实验证明该方法具有可行性 ，能够实现对不同故障信号的识别分类，且准确度较高，可以作为-种有效的故障诊断方法。

基于局部均值分解近似熵的特征提取方法要优于基于经验模式分解近似熵的方法 ，将其与模糊 c均值聚类结合能够得到更好的聚类效果。