基于柔性三坐标测量仪的锥形柱件外径测量技术研究

火炮零部件中，对于锥形柱件外径尚无有效测量手段。针对这-问题，本文研究了基于现有柔性三坐标测量仪测量锥形柱件截面外径的测量原理及方法，从理论上解决了火炮反后坐装置中节制杆等锥形柱件外径测量的技术难题。

2 研究内容加工标准圆锥台，利用现有柔性三坐标测量仪测量其上、下底面及侧面各点坐标，建立圆锥参数最优化模型，推导圆锥上、下底面圆心坐标计算公式及横截面方程，拟合距离圆锥台底面为d的横截面圆，并求取该横截面圆的半径。

3 圆锥参数模型建立3.1圆锥参数确定Z图1 测量点到空间圆锥体的偏差示意图图 1所示 。-xyz坐标系中，圆锥顶点坐标P。

( 。，Y。，z。)，圆锥 半顶角 Ol，圆锥轴 线向量(COSO'SinT，sino-cosr，COST)，圆锥表面测量点坐标 P ( ，Y ，z )，求得 ( ，Y0， ，OL， ，)，即确定了圆锥曲面。

3.2圆锥参数最优化模型建立在实际测量中，圆锥表面坐标点测量值存在- 定误差，过测量点 P 作与圆锥轴线垂直的平面，与圆锥轴线的交点为 P，直线 PiP与圆锥面的交点为P ∩以用偏离距离Pi P 作为残差列立误差方程 。P点坐标为 (‰ tcostrsinT，Yosin o'sinT， 0t COST)，式中 - 轴线上任意-点至 P。( 。，Yo，z。)的距离点 P至顶点 Pn的距离为：PoPj(x - 。) ( -yo) ( - )测量点 至交点 P的距离为：户iP√( - ) ( -Yi) ( -Zi)因此测量点 P 至圆锥面的垂直距离为：( )P Pcosa-PoPsincri(x)/( - ) ( -Yi)。( -Zi) COSOt- j(x，- ) ( -y0) ( -Z0) sinot(1)中： ( 0，Y0，z0，O/， ，r)。

设圆锥表面共测量 m个点，由于每个点在圆锥面上，因此理论上 ri( ) 0。由于实际观测点 P ( ，Y ，z )有-定误差， ( ) 0，为求得圆锥参数 (‰，Y。， ， ， ， )，可认为使 ( )] 的值达到最小的参数 ( 。，. -7 。

· 应用与研 究 · 兵器试验 2013-3Yo，Z。， ， ， )即为圆锥参数最优值。所以，建立圆锥参数最优化模型为：mi )寺r( ) r( )了1∑ r ( )] ，巩≥n ER Z -t 1(2)r/(x)/( - ) ( - )。( - ) cos- 4(x - 0) ( -y0) ( -Z0) sina(3)4 Levenberg-Marquardt算法求圆锥参数根据圆锥参数最优化模型，求得圆锥参敛( 。，Y。，z。， ， ，丁)。由于该模型方程为复杂的多元非线性方程，所以本文采用 Levenberg-Mar-quardt算法求得参数。

需要求得参数 的最优值，使，( )的值最小，在本文中即为求参数 ( ，Y。，Z0，Ol， ，下)的最优值。设 J( )是 r( )的Jacobi矩阵J a r1a 1a ra 1a r1a 戈a ra求 G 的近似曰 。

5 求圆锥底面圆心坐标测量圆锥体底面-系列 的 个点 (n≥3)：( ，Y ，z )，i0，1，，t/，-1。由这些点对底面进行平面方程拟合。拟合方法采用最小二乘法，拟合具体原理如下：5.1圆锥底面平面方程拟合平面方程的-般表达式为：Ax毋 D 0，(C≠O)即：z- - -罟，记：口。- -B Dz -百则：zOtox 1YOl2，对于-系列的n个点(n≥3)：( ，Yf，Zf)，i0，1，，n-1要用点 ( ，Y ， )，i0，1，，n-1拟合计算上述平面方程，则使：n-1S∑( crly 2- )i0最校要使得.s最小，应满足 旦 ：0，k：0，1，2：d OLg为 目 标 函 数 f(x)的 梯 度：g(x) 或，∑ ( )V ri(戈)J(x)r(x)ilf(x)的 Hese矩阵为：G( ) .，( ) j(x)S(x)∑r ( )V ( )i1式中：s( )∑ri( )V r ( )构造Hesse矩阵G 的近似B ，通过 BFGS算法校正公式：B 蓑糍∑ 2 ∑ ∑∑xlyl ∑ ∑Y∑ ∑Yi n㈢ ∑ YF解上述线性方程组，得： ， 。，0c：，即： 0 1Y 为圆锥底面 1的方程。

5.2圆锥底面圆心坐标确定求出圆锥底面 。方程后，与轴线方程联立求得底面圆心坐标为：H 旦 (Z-lt--z0) 0 (4) -COsr - / 0 r/YH slnO'slnT(z日-ZoS) o (5) - c0s.r 日 ， O /( 0coso-sinr 1sincrsinT)zo-( 0 0Ot1Yo 2)COST- - - - 二 - - 6 求距离圆锥台底面距离为 d的圆锥横截面方程图2所示，圆锥台底面中心为 H(x ，Y ， )，横截面 与圆锥轴线交点为E，日如图2所示，圆锥台底面中心点为 H(x ，Y ，z )，横截面 与圆· 8·(6)锥轴线交点为E，日点和E点的距离为d，由式(4)～ 式(6)日点坐标，求得E点的坐标为：E 里 ( - ) 0dcosZ0 o'sinT -- L 呈 ( H- ) 0dsinYE Z0 o'si nT -- 兵 器试 验 2013-3 ·应 用与研 究 ·((：It0COSO'SInTOtI slno-slnT)Z0-( 0 0 1)，0a2 COST . ，---- 面 --- d∞盯图2 圆锥横切面则过 点的横截面 方程为：( - E)cosrsinT(Y-YE)sintrsinT( - )COST0 (7)7 圆锥横截面圆的拟合及截面圆半径求取7.1拟合横截面圆所需坐标点的选取根据 平面方程及点到平面的距离公式，取出圆锥台表面采样点距离横截面 的距离不大于 1mm的点组成点集 ( ，Yi， )。

假设点集 Ir(x ，Y ， )共 Ⅳ2个点。由图3所示，取点集 ( i，Y ， )中任意-点 C ( c，，Yc，，z.)，” C 为球心，R2mm为半径做微球面。

图3 拟合横截面圆所需坐标点若点集 w(xi，Y ，Zi)中某点D。( D1，Y z。 )在该球面内，则过点 C D 两点做直线 z ：二 - 二 - 二!!D1- cI )，01- Yc1 7-，.D1- Z.c首先求直线 Z 方向向量与横截面 法向量的夹角 。

(xDl-XC1)COSfsinT(YDl-Yc1)sincrsinT(ZDl-ZC1)COST arccos-- ----l二二二二二圭二三二二二 -- /(XD1-xc。) (yD。-Yc。) zD。-zc )选取 <7r/6时直线 z 与横截面 的交点S 。同理，过另-个点作直线 Z：，取 <，r/6时直线 z：与横截面 的交点 S：。然后把微球面内用过的 C 点、D 点和 D 点从点集 ( i，Y ，)中舍弃，类似，依次循环，取完点集 ( ，Y ， )中的每个点，并求出直线 Zi与横截面交点 .s ，组成点集 S( i，Y ，Zi)。下-步用点集S( ，Yi，Zi)在横截面 内用最小二乘法拟合圆，并求出圆的半径。

7.2坐标变换由于点集 S( i，Y ， )上的点为空间点，需要进行坐标变换将空间三维点集S( ，Y ，Z- )转化为新坐标系中的二维点集 5 ( ，Y )，然后用最小二乘法拟合圆。

经过坐标变换，求得点 S( ，Y ，z )在新坐标系Ex～Y z 中的点集 S ( 。，Y ，0)，然后利用点集 s ( ，Y ，0)内的点进行最小二乘法拟合圆并求得圆的半径。

7.3拟合求横截面圆半径在横截面内，利用点集 .s ( ，Y ，0)和最/J，-乘法拟合圆，再求该圆半径。圆的最小二乘推导不作详细叙述。

8 实验数据分析与处理结果为了验证本算法的有效性和正确性，对圆锥表面进行了6次采样，分别进行圆锥拟合，得到6组参数数据，取平均值作为圆锥参数。数据如表1。

求得圆锥参数后，根据圆锥方程，确定了待测量截面位置 (选揉圆锥台上表面30mm处截面)，并通过以上算法得到了截面点坐标，表 2列出了部分截面点坐标数据。

将表 2中的坐标转换到以待测截面为xoy平· 9 ·· 应用与研 究 · 兵器试验 2013-3ZO Y图4 坐标转换示意图面、以圆锥轴线方向为 z方向的坐标系中，变换后得到的坐标值如表 3。

表 1 圆锥参数计算结果圆锥半顶 定点坐标、Y、z/mm角 (度)六组数据 220. 4652 5。8-6753I593·68。 2.85l9平均值表2 拟合圆锥截面圆所需部分坐标点序号 )，1 2l8.8558 -504.4647 271.33012 209.3321 -509.6675 271.32983 2l9.8545 -504.3390 271.33214 228.6533 -506.024l 271.33125 212.8282 -507.3930 271.33096 225.6545 -504.8563 271.3313表3 坐标变换后截面圆所需坐标点序号 y1 l1.1405 12.27612 10.1122 13.13613 11.2523 12.17374 13.8685 9.08l85 10.9335 12.46086 13.3402 9.8414对表3数据进行圆拟合，得截面圆半径为16.5773mm。按照同样方法，得到了多组待测截面的半径，分别为 16.5686/1-21，16.56921"nlCl，16.5853mm，16.5804mm，16.5713m1，平均值为 16.5754，标准差为 0.006166。标准差小于 0.01mm。待测截面外径即为33.1508ram。

· 10 ·9 数据验证及结论(口-b)h D b ---A ，， I ， ， I， ： i， ：.t i 1D、 0。

-d图5 计算圆锥截面AB直径示意图1 0 结论(1)该研究扩展了现有柔陛三坐标测量仪的使用功能，从理论上解决了锥形柱件外径测量难题。

(2)针对各待测截面磨损不相同的情况，重点进行各待测截面邻域数据采集、计算，提高了外径测量精度。