涡旋型齿面轮廓度误差算法设计与仿真

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涡旋压缩机以效率高、震动噪声孝结构简单、运转平稳等显著优点 ，满足人们对节能环保的要求。在制冷、空调、氮气分离等领域中占有举足轻重的低位。其关键零件 (动、静涡旋齿)的加工精度将直接影响压缩机的啮合性能，决定产品质量。目前国内外诸多学者在该领域做出了相应的研究。日本东北大学Yoshikazu2 等提出了-种小型快速测量涡旋体高度的系统，该测量方式对本文有借鉴意义，却并未深入探讨如何评定面轮廓度误差问题；Jianhong.Yang3 等提出了涡旋面的线轮廓度测量方法，给出了最后的结果分析，但如何得到的测量结果并未给出，即中间的算法并未涉及；收稿日期：2012-06-29 修回日期：2012-08-14美国普渡大学Yu chen，Nils P.Halm[4 J提出了对应点极径之差的方法进行线轮廓度误差评定，但是基圆切线方向上的对应点距离之差才是真正的线轮廓度误差，算法不够精准；国防科技大学全荣，杨泰来 与中国科学院熊有伦院士 均提出了常见线与面轮廓度误差评定的通用数学模型，该数学模型详细阐明了线轮廓度误差评定算法，而面轮廓度误差评定只是点到为止，尤其针对涡旋型面并未深入探讨。

以上学者针对涡旋齿的线或面的轮廓度误差做了比较深入的研究，但是其研究的方法并不适合本文这种特殊要求的涡旋齿。文献中并未提到过采用何种算法能够减小设计基准、加工基准、测量基准三基准不重合带来的误差，也未曾指出采用何种算法来剔除工件在定位、装夹、标定中不稳定因素带来的误差。为了减小上述非加工误差”给涡旋齿面轮廓度误差评定带来的干扰，本文将采用软件方法求得采集. . . - - 303 .--数据中的隐含误差，然后对这些误差进行补偿，消除非加工误差”的干扰，指导涡旋齿的加工工艺。

针对以上问题，为了实现对涡旋齿面轮廓度误差的高精度评定，减小上述非加工误差”对精度的影响，在两个假设”条件下 ，有针对性的就涡旋齿面轮廓度误差评定提出基于最小二乘的逼近优化算法，建立相应的数学模型。与常见曲面轮廓度评定算法模型比较，不需进行繁琐的曲面的拟合，立足于研究逼近优化算法中逼近参数的各个变量对该数学模型精度的影响。该参数从总体上反映了非加工误差”带来的影响，通过软件补偿可以消除该误差的影响，提高了精度。由于该方法精度高、针对性强、容易实施、灵活方便，使其更加实用，有-定的工程应用价值。

2 涡旋齿面的形成原理用具有螺旋状的涡旋型线构成具有-定厚度的动静涡旋齿，并使得动静涡旋齿之间满足正确的啮合，这-过程称为涡旋线的生成。本文中将该型线作为涡旋齿的准线，其方程为：fxR(cosbbsin6) (1)tyR(sinb-cos6)式中： 为渐开线的渐开角，R为基圆半径，齿面的母线是-条与z轴平行的直线。其形成的涡旋齿面及齿面轮廓度要求如图 1所示。

图 1 动涡旋齿及其轮廓度要求涡旋齿面的生成方法有展成法和法向等距法 ，本文采用法向等距法 。图 1左边部分为动涡旋齿的外形 ，右边为剖面图。图上标注的0.015mm为本文的轮廓度要求。

将该参数方程(1)进行变形得 ：y2R (1 ) (2)从(2)式中可将其转化为理想空间曲面的形式：，( ，Y， ) y - (1咖 ) (3)由于涡旋齿面轮廓度要求控制在0.015mm，只要稍微有非加工误差”的干扰就会引起精度上的偏差。因此本文提出了基于最小二乘的逼近优化算法来建立数学模型，采用软件补偿的方式计算出非加工因素所带来的综合误差，综合误差则从逼近参数u的各个变量体现出来。

3 误差评定数学模型3.1 逼近参数求取为了求取非加工因素所带来的综合误差，本文将采用工- - - - - 304 .----程实践中常见的最小二乘法来求取逼近参数 u，u即是综合误差的体现。

文中的空间理想曲面 S可以表示为 ：-厂( ，Y，z)0 (g)理想曲面通常认为是充分光滑或者是分区光滑。在此前提下， 上任意-点的特征可以用如下三个矢量来表示：矢径 P，单位法向量 n，球切线矢 r，将它分别定义为 ：Pxiy (5)l i k l P×nl r r：I (6)I COS COS COS y l式中：COS瞳 0 cos B：T 十 cos / r ycos -ZCO$卢rv ZCO$OL-zcos yr： XCO. -ycos矢量 在曲面 的切面内，且切于 与以原点为球心球面 ，l P I1为半径的交线。当P/n时， 与球面相切，l r l0，的方向不确定～ P，n， r看成曲面 在该点的坐标系。

对于曲面 ，定义影响函数 ：A(p)[cos ，cD ，cosT，丁 ， ， ：]r (7)设采集到的实测点坐标为 P [ ，Y ， ] ，(i1，2，，Ⅳ)在小偏差假设”和小误差假设条件”下 ，实测点 P 均在理想曲面 附近。设 m为涡旋型面准线理论点 P [ ，Y ，z r处的切向量，k为该点的反法向量。其向量关系如图2所示。 -。- -、 。

图2 曲面投影的向量关系图根据参数方程的数学特性 m( ，Y ， )，由于向量m与向量k垂直，则k(-Y ， ，0)，将向量k单位化得：[COS -y // ；yt 2 t2咖-sin咖c。s卢 / c。s (8)tcos z / ， ：0那么理论曲面上角度为 西的点在向量 k方 向上的梯度gradf(x ，Y ， )为：gradf( ，Y ， )：(-sin ，COS咖，0) (9)实测点与其对应的理论点之间形成的向量可表示为：d(( - )，(Y -%)，( - )) (10)该向量的方向与为 k的反方向。 到平面 的距离可以表示为：d(P )-gradf( ，Y ， )d (11)将式(9)和(10)带入(11)得到：d(P )-( - )COS Ol-(Yf- )COS卢 (12)由于在测量时存在检测基准与加工基准不重合或者定位、装夹、标定不稳定，为了提高算法精度在评定时需要进行微量调整。

在-般情况下 ，逼近参数 IX包括三个方向上的微分移动r ，r ，f：以及三个方向的微分旋转量 ， ， 。利用六个微分变量组成描述位置和方向n[ ，r ，r ， ，0 ， ，r，设实测点 P [ ，Y ， 经过微量调整后坐标为 P ，利用坐标变换公式可得到P [ ，Y ，z r。

Iy11 - 0y 60z 1 -Ox 6y- 0 -0 10 0 0 1(13)P 到理想曲面 的距离与描述变量 u及 P 到理想平面的距离两个因素相关，可以记为d(P )d(P ，1，)，通常情况下，点到曲面距离的-般公式：d(P )，( ，Y ， )/ (14)由于理想曲面充分光滑，且描述变量为微分变量，在以上两个条件下有如下关系 ：，( ，Y ，z )，( f，Y ， )[6 -Yi ] [8 -Xi [6：-XiOyYlOx (15)将(14)化简后得到：d(P ，/，)d(P )urA(P ) (16)由最小二乘的定义，要求 D ( )最蝎式(16)带入(14)式中便可得到：. ND2(u) 1∑(d(P )urh(P )) (17)为了求出式(17)的最小值，需要对描述变量的各个分量求导，并令其为0～求导后的6个等式进行整理则可得到如下等式：D·[ ，f ，f ， ，0 ， ] c (18)式中矩阵D与C分别是经过求导后整理出来的矩阵。利用式(18)即可求出n[ ， ， ， ， ， ，式中三个方向上的微分移动 r ，r ，r：和微分旋转量 ，0y， 即可反映出非加工误差”带来误差，对这些平移和旋转进行补偿即可减少非加工误差”对精度的干扰。

3.2 模型应用对于不同的曲面，其逼近参数 的维数不同，根据影响函数A(p)的表达式便可以确定曲面轮廓度的维数，例如椭球面是6维的，球面是 3维，圆柱面 4维。本文 中的涡旋型柱面是由参数 决定，不同的 咖则可认为是直径不同圆柱面，多个直径不同的圆柱体截面组合而成非圆柱面。根据式(8)可知C03 0，可判定带参数的涡旋型柱面评定的维数 5维，即u：[ ， ， ，0 ，口 ] 。

将 u代入(16)中即可求出每个实测点 P 到曲面距离这些距离中的最大值与最小值构成了轮廓度误差。

em似 d(P ，u)-mind(P ，) (19)e即是消除非加工误差”影响后得到精确值。

4 涡旋面轮廓度仿真目前工程上应用的曲面采样点分布方法主要有：均匀分布法和按曲率分布法 J。均匀分布法适用曲率恒定的曲面测量，如圆柱面、球面，有较好的测量精度。曲率分布法则适用于曲率变化的曲面，曲率越大，测量点应越密；反之测量点越疏，从而较好地反映待测曲面的几何形状信息。基于涡旋齿曲率变化原因，本文采用曲率分布法。

用检测探头替换加工中心的刀具，检测探头的轨迹为刀具加工涡旋面的轨迹，这样可以得到涡旋齿面同-高度上的- 系列点的坐标值。再在另外两个高度进行检测，便可以得到涡旋面上三个高度上的点的坐标值。根据式(1)结合涡旋型线的展开角 咖∈[0。，1023。]确定采点间隔△ 。△ 1。时，每-圈采集 1024个点 P ，同时根据 △ 利用式(1)求出与 P对应的理论值 P 。那么在三个高度上可 以采集到 3072个点，足以反应涡旋齿面的轮廓度。如图3所示。

图3 涡旋盘截图与探头相对位置示意图为了验证该算法以及该数学模型的精度，本文中的数据均是以涡旋型曲面的理论方程式(1)为基础随机构造而来。

由于涡旋压缩机的动、静涡旋齿在加工中心上装夹和加工的过程中，并不是完全按照设计图纸的要求进行的，那么装夹和加工的过程中的误差势必影响检测设备采集到得数据。

为了仿真出装夹和加工过程中的部分误差，使构造的数据能够最大程度上真实完整的反映出实际数据，本文在设计实测点坐标 P 时，需要考虑到偏差和误差两个方面因素。

偏差的设计是考虑到动、静涡旋盘的设计基准与加工基准及检测基准不重合情形，以及装夹、定位的误差。这些非加工误差”包含了 ，y，z轴方向的偏移量与旋转量，即上文提到的逼近参数/，。

. . . - - 305 .-- 误差的设计是考虑到动、静涡旋盘在加工过程中加工中心 自身精度问题带来的误差～式 (1)中基圆半径 R随机的做±6 的调整，调整后的理论点坐标 ，即以2 来反映涡旋面轮廓度误差。根据涡旋面轮廓度误差的最小区域法评定原则，2 即理论的轮廓度误差，设为设计值 e。

偏差值与误差值的设计均是在小偏差假设”与小误差假设”的前提下完成 ，即必须在在合理范围内设计 ，r ，， ， 五个偏差变量和-个误差变量 e～每个点的理论值、偏差值 、误差值三者相加可仿真出实测点坐标 P ( ，Y ，)。如图4所示，图中锯齿线即为采集到的实测点形成的曲线，锯齿形下面的光滑实线则是理论涡旋线。

18090 80图4 仿真数据点形成的线5 仿真结果分析按照以上数学模型，采用 c语言编程实现该算法。

图5 本文算法流程图为了验证该算法的精度，本文设计多组数据进行分析比较，下面择取其中8组具有代表性实测点坐标数据进行仿真比较，逼近参数的设计值u见表 1。

- - - - - - 306 ----表 1 逼近参数的设计值将实测数据与理论数据导入本文中的算法，求出仿真结果 ，得到 8组仿真结果 u ，见表 2。

表2 逼近参数的仿真值将表 1与表 2中的 1，2，3组数据比较 ，可以明显发现当旋转量为Orad时，x，Y方向上平移量的设计值与仿真结果均十分接近，差值仅在 10 nlnl级。比较4，5，6，7组数据时，当旋转量在变化时，不但对平移量有影响。且对算法的精度会构成影响。每组数据中的 5个变量可反映出该组数据由非加工误差”带来的影响。

运用该数学模型求出的轮廓度误差仿真结果值e 与最小区域法下(设计值)的轮廓度误差 e作比较，见表3。

表 3 轮廓度误差比较综合表1、表2和表 3的1，2，3组数据可以发现当涡旋面只是在x，Y轴方向上进行微量平移时，其三组数据得到的误差百分比分别为3.5%、3.5%和 1.5%，同理比较4，5，6，7组数据，其误差百分比为10%，15%，32%，64%，且随着旋转量的增大，误差百分 比就越大。比较三个表 中的全部 8组数据表明，本文算法中逼近参数的五个变量中，旋转量对模型精度影响较大，平移量对算法精度影响很校该参数直接反映出非加工误差”在 X，Y，Z方向上 的移动量和旋转量。5个变量对编写加工程序，提高加工精度具有十分重要的指导意义。

同时，本文就小偏差”和小误差”在涡旋面轮廓度误差评定中的范围进行了量化。表 3中的误差值落在 0～0.02mm范围内，偏差值的移动量落在0～0.02ram，旋转量落在0～0.005rad范围内，本文算法的精度可达到 10-mm。由于该涡旋齿的轮廓度误差实际加工中需控制在 1.5个丝(0.015mm)，而本文算的精度可达0.01个丝(10 mm)，因此本文算法可以作为高精度评定涡旋压缩机涡旋齿面轮廓度误差的方法。

[8][9]6 结语 [1o]本文根据涡旋压缩机涡旋齿面轮廓度误差高精度的评定要求，基于最小二乘的逼近优化算法建立了评定涡旋齿曲面轮廓度误差的数学模型，有效地解决了非加工误差”给评定精度带来的影响。经过仿真分析表明：该算法的精度高、模型准，针对性强，方便快捷，容易实施，对实现涡旋型曲面轮廓度误差高精度评定具有借鉴意义，在工程应用方面具有- 定的参考价值。