基于三次NURBS曲线的伸缩吊臂局部稳定性研究

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随着相关领域对汽车起重机的起重能力、作业幅度和高度的要求越来越高，设计自重轻和高承载能力的吊臂成为汽车起重机发展的紧迫任务。而在其设计中，为减轻吊臂自重，需增大吊臂截面的尺寸和高宽比，达到充分利用材料的承载能力的要求。但是汽车起重机吊臂在工作过程中，其腹板部分很容易出现收稿 日期 ：2012-12-13基金项目：国家自然科学基金资助项 目(51175146)作者简介：黄鑫磊(1989-)，男 ，湖北通城人，主要从事数字化设计方面的研究.E-mail：huangxinlei89###126-c0m通信联系人：纪爱敏，男，教授，博士生导师.E-mail：jam###ustc.edu· 660 · 机 电 工 程 第3O卷局部失稳而被损坏。为解决这-问题，国内外专家作了很多努力，如采用将起重机矩形吊臂的腹板向承压边压形，使吊臂截面形状由矩形演变为五边形、六边形、八边形、十二边形直至曲线状。孙在鲁n剖采用解析法研究 了矩形、八边形和大圆角吊臂的局部稳定性，但其求解过程复杂，不易被掌握。纪爱敏等 采用有限法对四边形和六边形吊臂进行局部稳定性研究，获得了相对比较准确的结果。牟瑞平等b 在考虑相邻臂节间的滑块作用下，研究了滑块对于吊臂局部稳定性的影响。齐成、屈福政等 J贝0寻求出-种更为精确的等效板厚计算方法，用于起重机吊臂局部稳定性的求解。

业内普遍认为曲线形起重机吊臂能够满足要求，并已形成共性认识，即采用曲线形吊臂可大大增强吊臂受压边的抗屈曲能力。但是，目前国内外研究人员大都致力于对固定的多边形吊臂局部稳定性进行研究 ，而对于曲线形吊臂局部稳定性的研究，至今还没有得出准确结论，即到底采用何种形状能提高吊臂局部稳定性，目前尚无定论。

本研究采用三次NURBS曲线构造起重机伸缩吊臂下盖板截面的数学函数，在ANSYS中用APDL编写伸缩吊臂截面程序，通过调节NURBS曲线的控制点和权因子 ，达到可以建立多种不同曲线形吊臂的目的，再通过计算其临界应力，分析不同曲线形吊臂的局部稳定性。

1 三次NURBS曲线构造吊臂下盖板截面1.1 三次NUIuBS曲线已知控制点P。，P，P2，，P ；权因子 W。，W。，W ，，W 和节点矢量U 。， ，U ，， ，则三次NURBS曲线 呵 以表示为：l'Ni，，( (cJ Pc∽ l-- (1)∑Ⅳl，(i0引入算子 △，并规定 A .-M ，△ -U ，特别地 △0：0，则 ， 可按下列德布尔-考克斯递推公递推公式得出： -∽ ‰ (2))1.2 三次NURBS曲线的节点矢量对于吊臂下盖板截面的三次NURBS曲线，对吊臂截面的数据点 Q 0，1，， -1)取规范积累弦长参数化得参数值u 0，1，， -3)，则有：u0It1 2t3：0： ， 。，1，，n-3) (3)2 /.Z 3 n4Mn十51式中：d～总弦长，d∑lQl-Q I。

：1再按德布尔-考克斯递推公式得出吊臂截面下盖板三次NURBS曲线的基函数 ， ∽ 。

1.3 反算三次NURBS曲线的权因子若已知与各数据点 Q 对应的权因子为 0，1，，n-1)，则数据点的权因子和控制点的权因子有如下关系 ]：垡 h -) wjNj， u-) 0，l，. -1) (4)，根据式(4)，再补充两切矢边界条件：其中：h-。 -ho)/(u - ，)；h ( - - - )， -M )。 由式(4)和式(5)，可解得各控制点对应的权因子W 0，1，，n1)。

1.4 反算三次NURBS曲线的控制点用 于 插 值 吊臂 下 盖 板截 面 上 n个 数 据 点Q 0，1，，n-1)的三次NURBS曲线方程可表示为：∑ ，###Ⅲ) PJQi i2 ∑ ，um) 0，1，，n-1) (6)式(6)中的n个方程不足以决定其中包含的 n2个控制点，还必须补充两个端点切矢边界条件：- )(7)- -P )其中： 。 (Ai 3)2，。 ～ (8)--：--- l- K 。

第6期 黄鑫磊，等：基于三次NURBS曲线的伸缩吊臂局部稳定性研究 ·661·6 。(1- Ai3)- 2)∞ 。，1，2，， -1)，- ， ，3∞anl- . 3∞ ，q (口ib c )Q 1，2，..， ，q。Q：，q Q--。。

由求得的权因子 和控制点 以及基 函数.，∽ 可得出起重机伸缩吊臂下盖板截面的三次NURBS曲线函数 C∽ 。

输人数据点Q及数据点的权因子h/-0，1，..n-I)积累弦长法求节点矢量lf 卸 1.，n-3)按德布尔-考克斯递推公式求基函数 ∽反求控制点的权因子n， 间 1.， 1)反求控制点， (卸1.Jr1)由基函数心∽、权因子 控制点琳 得c∽图 1 三次NURBS曲线的流程图l A Io (11)求出式(11)中的最小特征值A ，则"rainF便是临界载荷。

3 基于三次NURBS曲线的吊臂局部稳定性分析3.1 使用三次NURBS曲线构造吊臂下盖板截面在已知吊臂下盖板截面的若干个数据点及其相应的权因子后，采用积累弦长法求得吊臂下盖板截面三次NURBS曲线的节点矢量，使用反求技术得到吊臂下盖板截面三次NURBS曲线的权因子及其控制点，从而构造出吊臂下盖板截面的三次NURBS曲线函数。

3.2 采用APDL编写吊臂截面程序采用ANSYS自带的APDLn 命令流编写吊臂截面程序，并将吊臂下盖板截面三次NURBS曲线的控制点和权因子作为控制变量，设置循环后，可得到多种曲线形的吊臂截面。

3.3 吊臂局部稳定性分析对每-种曲线形 吊臂截面进行 网格划分、加约束、加载后，进行静力分析，求解前须激活预应力选项。再进行特征值屈曲分析，得到吊臂的临界应力值。整个求解过程采用 APDL循环程序 ，算出-个吊臂截面的临界应力值后，自动进行下-个吊臂截面的求解，从而可得到多种曲线形吊臂的临界应力值。

基于三次NURBS曲线吊臂局部稳定性分析的流程图如图2所示。

构造吊臂下盖板截面的三次 瓜BS曲线函数2 伸缩吊臂局部稳定性的有限元分析 l用 编写吊臂截面j陧序汽车起重机伸缩吊臂其结构属于-种卞结构，其局部稳定性是利用最小势能原理n 导出单元的平衡方程式。经组装后，可得到整体平衡式为： ) 0 (9)式(9)中，系数矩阵-般是非奇异的，只有零解；6O，表示板受中面力作用的平衡是稳定的平衡。若将中面力按比例增加A倍，则单元刚度矩阵以及整体的几何刚度矩阵分别变为A 和 A 。故整体平衡方程式为：(KA )60 (10)式(10)中，随着 A值增大到-定值，也就是载荷增大到-定值时，系数矩阵变成奇异，方程有非零解，表时结构丧失稳定性。因而，求解结构稳定性的临界载荷便归结为求解特征值问题，即：根据控制点 求权因子CO 确定曲线形吊臂的-个截面划分网格施加约束和载荷特征值屈曲分析储存临界应力值使用DO循环调节和 的值图2 基于三次NURBS曲线吊臂局部稳定性分析的流程图· 662 · 机 电 工 程 第30卷4 具体算例本研究采用-具体算例来进行验证。其中，各参数如下：伸缩吊臂截面中面尺寸的高为O.836 m，宽为0.542 m，吊臂长为0.558 7 m，吊臂上部的板厚0.007 m，下部的板厚0.009 m，断面内力： 1.5×10 N·m， 2.710 N·m，N：3.510N，方向与文献[1]-致。

4.1 建模用APDL编写其截面程序，吊臂下盖板截面曲线用三次NURBS曲线函数，并将控制点 P 和权因子 'tO作为参数，调节吊臂截面形状。由于吊臂截面的形状呈现对称性，因此，在调节-个控制点 P。或者权因子W 时，也要同样大小地调节吊臂截面对称的另-侧控制点 或者权因子 。

控制点 Jp。和P 同时取0.465、0.565和0.665时，吊臂截面的变化情况如图3(a)所示。权因子W 和W同时取 0.1、0.55和 1时，吊臂截面的变化情况如图3(b)所示 。

(a)伸缩吊臂截面随着控制点P。变化(b)伸缩 吊臂截面随着权 因子 W.变化图3 伸缩吊臂截面变化图4.2 划分网格选取ANSYS单元库中的壳单元SHELL63，进行网格划分，得到有限元模型。

4.3 约束和载荷对模型进行加载和约束。曲线形吊臂的约束载荷图和曲线形吊臂的-阶屈曲模态如图4所示。图4中显示受压力大的-侧腹板发生屈曲，与实际相符。

4.4 求解结果本研究对此先进行静力分析，再进行特征值屈曲分析，获得特征值屈曲解及其屈曲模态后得出其局部稳定性临界应力值。

图4 曲线形吊臂约束载荷及-阶屈曲模态部分程序如下：，PREP7ET，1，SHELL63do，P0y，0.645，0.465，-0.02do，W 1，0.1，1，0.1pstres，OilANTYPE，0ANTYPE，1BUCOPT，LANB，1，0，0，MXPAND，1，0，0，1，0.001，GET，R，MODE，1，FREQ!定义壳单元NURBS曲线建模!设置控制点循环!设置权因子循环打开预应力!静力分析!屈曲分析提取特征值4.5 结果分析本例通过调节吊臂下盖板截面端点处控制点 P(1的纵坐标Y值和吊臂下盖板截面曲线1/4处的权因子W ，得出曲线形吊臂局部稳定性临界应力。固定控制点 P。的-个纵坐标 Y值(Y-0.465，0.485，0.505，，0.645)，调节权因子 W。(W。0.1，0.2，0-3，，1)，得到临界应力随权因子 变化的线图。编号 1，2，3，，10对应 Y值为0.465，0.485，0.505，0.645时的临界应力变化情况如图5(a)所示。

固定权因子 W。的-个值(W。0.1，0.2，03，，1)，调节控制点 P。的纵坐标 Y值(Y0.465，0.485，O.505，，0.645)，得到临界应力随控制点 P。的纵坐标 Y值变化 的线图。编号 1，2，3，，l0对应 W。取0.1，0.2，03，1时的临界应力变化情况如图5(b)所不 。

为了进行相关的对比，本研究还算出了六边形和十二边形在实际载荷下的临界应力值。其载荷计算和加载方式采用曲线形吊臂的方法，同样是受压力大的-侧腹板发生屈曲。

第6期 黄鑫磊，等：基于三次NURBS曲线的伸缩吊臂局部稳定性研究 ·663 ·垂磐重随权因子变化的临界应力值80060070o60050o400300权因子(a)临界应力随权因子 W。变化的线图随控制点只的)，值变化的临界应力值控制点 的)值 /m(b)l临界应力随控制点 P。纵坐标 Y值变化的线图图5 临界应力随权因子 .和控制点 纵坐标 值变化线图将六边形吊臂的临界应力、十二边形吊臂的临界应力和曲线形吊臂的最大临界应力进行比较∩得的临界应力值 ，以及从六边形到十二边形 ，再到曲线形，吊臂局部稳定性的提高程度如表1所示。

表1 3种吊臂的局部稳定性临界应力对比通过该算例可以得出结果：(1)从表 1可知，吊臂截面从六边形到十二边形，再到曲线形，吊臂的局部稳定性逐渐提高。

(2)吊臂下盖板截面曲线权因子对局部稳定性的影响。从图5(a)可知 ，权因子 'IV。取0.5左右时，即取中间值时，吊臂的局部稳定性达到最好。

(3)吊臂下盖板截面曲线控制点对局部稳定性的影响。从图5(b)可知，控制点 P。的纵坐标 Y取中间偏大值，即腹板高度取吊臂高度的-半偏大值时，吊臂的局部稳定性达到最好。

5 结束语本研究采用计算机图形学中的三次NURBS曲线建立了汽车起重机的吊臂截面模型，利用有限元法方法对其吊臂进行了局部稳定性分析，并采用ANSYS中的APDL语言对该吊臂的建模和分析进行控制，通过调节吊臂下盖板截面三次NURBS曲线的控制点和权因子，构造出任意曲线形状的吊臂截面 ，再对吊臂进行静力分析和屈曲分析，得到临界应力值的变化规律，获得了能够提高曲线形吊臂局部稳定性的吊臂截面；并将其与六边形吊臂和十二边形吊臂的临界应力值进行了对比，得出了汽车起重机曲线形吊臂局部稳定性更好的结论。

上述研究方法具有较强的实际应用价值 ，为曲线形吊臂的局部稳定性研究开辟了-条新道路。