基于模块间约束的机床布局优化方法

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A layout optimization method of machine tool with constraint between modulesLI Aiping，HE Qi，LIU Xuemei(Colege of Mechanical and Energy Engineering，Toni University，Shanghai 20 1 804，CHN)Abstract：The land occupation of machine tool is one important constraint of production line layout.In order to ob-tain the least layout area of machine tool，a layout optimization method of machine tool with constraintbetween modules is proposed.Firstly，establish two-dimensional rectangular layout unit according to themain modules of machine tool and build the two-dimensional layout model of the machine too1.Then，design neighboring algorithm on the base of non--interference algorithm to express the non--interferenceconstraint and neighboring constraint more accurately.At last，an improved genetic algorithms is used tooptimize the layout of the machine tool by Maflab calculation.A detailed case is presented in this pa-per，and the result shows that the method is effective。

Keywords：Machine Tool Layout；Rectangle Graph Unit；Neighboring Algorithm；Genetic Algorithm机床布局是生产线布局设计中急需解决的问题。

性能最优与空间最小是机械系统布局的两个主要目标。在以满足性能要求为目的的机械系统布局方面，国外 Moon和 Kota 等人提出了分解运动变换矩阵以实现机械结构 自动重组。国内的张广鹏 以同样的思路研究机床布局，根据刀具位姿矩阵导出了运动级联矩阵，进而生成运动功能方案，最终实现机床的结构形态方案。韩泽光 研究了机械产品的运动方案设计与结构方案设计，对这两个设计进行了精确的数学描述与表达，为机床的结构与布局方案设计提供了- 种理论设计方法。王德伦 提出运动构型、尺度与结构方案相融合的机械产品创新设计状态空间方法体系，并将其应用到机床的方案设计中。在以空间最小为目的进行的机械系统布局方面，冯恩民等 对布局中的图元作了精确的数学表示，并构建了数学模型，给出了-些理论上的算法，并将改进的遗传算法应用到卫星舱的布局问题中。徐义春 在研究了矩形布局优化问题时设计了-种构造式算法--定位法，即将-个矩形围绕另-个已经确定位置的矩形作为参照进行部署，结合遗传算法寻优，得到了较好的计算结果。Jacquenot 等在 2009年的 ASME设计工程国际会议上提出了多目标自由布局问题的方法，对机械产品的二维和三维布局都有-定的借鉴意义。

国内外研究学者在考虑性能或空间两者之-单个因素的机床布局研究都已经较为成熟，但是对于如何在机床空间优化布局的同时保证机床的性能这-问题还有待研究。本文在对机床的布局优化中充分考虑了性能与空间两方面的因素。在保证机床加工性能与操国家高档数控机床与基础制造装备科技重大专项(项目编号：2011ZX04015-022)；上海市基础性研究重点项 目(11JC1413200)；中央高校基本科研业务费专项资金9 ·设计与研究 gnand Re，search作性能的基础上，对机床的空间布局进行优化。具体研究的机床为其与地面接触的各个拈(床身、电气柜、排屑机构、刀库)的底面形状为矩形或可简化为矩形的这-类机床，总体思路是将三维的机床划分成多个二维矩形块作为矩形布局图元，以机床所占矩形包络面积最小为优化 目标，用数学方法精确描述机床二维矩形块之间的约束。应用改进的遗传算法针对图元进行布局优化计算，得到机床布局的优化结果。

l 机床布局优化模型1.1 问题描述机床作为生产线上的主要加工设备，它的占地面积影响着整个生产线的布局。机床所占的矩形包络面积越小，生产线可以布局得越灵活、紧凑、高效。如何使机床在满足功能要求的同时，合理布局各个功能模块，使机床的占地面积达到最小便是本文研究的问题。

1.2 机床拈数学模型构建机床各个拈的相对位置的确定就是机床的布局。在机床的布局过程中，首先要将机床划分为若干个相对独立的拈。由于本文研究的机床与地面接触的各个拈底面形状为矩形，可将三维机床的各个模块简化为二维矩形布局图元(床身、立柱、电气柜等)。

操作工人在操作机床的时候会占据-定的操作空间，机床各个拈在布局过程中为了不与这些操作空问相干涉，本文将这些操作空间分隔出来，定义为二维矩形功能图元(控制观察区，工件装夹区等)。经过以上步骤，可得到 n个二维矩形布局图元和 m个二维矩形功能图元，然后对矩形图元进行精确的数学表达。具体如下所述。

以机床所占地的矩形区域 为布局的对象，首先以待布局区域的矩形 的型心为坐标原点，建立直角坐标系f -。-Z (f，轴与矩形的长平行，z：轴与矩形 的宽平行)。在矩形 上布 n个二 维矩形布局图元 R ，i∈， 图1矩形图元Ri的示意图1，2，， ，记 尺 的型心为 ( ，y )∈R ；R 的4个顶点按逆时针方向分别记为P ∈R ， ∈，41，2，3，4，其中 P 与 轴的正方向所成角度记为 0 ∈(-丌/2，Ir/2)；记平行P P 的单位矢量为H (cosO ，sinO )，根据右手定则确定与l 正交的单位向量 l， ，'， (-sinO ，eosO )；记 的长宽分别为 2口 20 2(0 2≤口 1)；记 a (0 l，0 2)，女口图 1所示。

· 110 ·根据以上的定义，可以通过 、0 、a 唯-确定矩形图元和其在布局空间上的位置。即R R ( ，0 ，a。) Al U A 2 l A ∈l-n ，0 ]， 1，2n个二维矩形布局图元表示为R (i∈， )。m个二维矩形功能图元不参与布局，它们的位置参数由二维矩形布局图元所确定。表示为 R (i∈lm)，其中， 1，2，，m。

1.3 布局方案对于布局参数 a (i∈， )确定的布局图元，其布局位置 c 可由 、Oi确定，记 c ( ，0 )∈R ，称c(c ，c ，，C )∈R 为-个布局方案。

记P矶和Pm为矩形布局图元R 中的顶点坐标 P( ∈L)的横坐标和纵坐标；称 IX(C)(P -P)(Pyma-P)为 C的矩形包络，其中 P maxPm，P rainP ，P maxP协，P rainPm，i∈， ， ∈/4。

1.4 约束描述(1)不干涉约束机床在布局的过程中，各个拈之间不能干涉，操作工人占据的操作空问与机床的拈不能干涉。用数学方法如下所述。

图元 R 除去边界后的那部分称为 的内部，记为int ，有 int R ( ，0 ，a ) AlH。A 2l， IA ∈(-。扪口 )，Ii21，2cR ，机床拈间、机床功能区的不干涉约束可表示为 int尺 n int R，0(i≠ ，i， E， )，In 1，2，，nm。

(2)相邻约束为保证机床的性能，要求机床特定拈之间具有相邻的关系。如机床床身与立柱具有相邻关系，刀库与主轴运动区中特定换刀的位置相邻，电气柜与控制观察区相邻等。这种相邻关系的数学表达如下所述。

图元R 的边界记为bou R ，bou R。尺 -int R 。任意点JP与矩形 尺 相邻约束表为 P∈R ；任意两矩形相邻表为bou R nbou R ≠0，且满足不干涉约束。根据具体机床拈的约束，记点与矩形图元之间所有图元约束为dot(PR )， ∈， ；记二维矩形图元之间所有相邻约束为 st(R。尺 )，其中i， ∈， ，i 。

1.5 机床二维布局数学模型在满足不干涉约束和相邻约束的条件下，使矩形包络值最小的机床布局问题的二维数学模型如下：目标函数： (C)(P -P )(P -P )(1)等 u10 0卅不干涉约束 ：int R nint置 (i#j，i， ∈， )其中，n 1，2，，nm相邻约束：d0t( )，i∈In ，st(R )其中 i j∈I .i≠j2 约束表达算法与优化算法2.1 不干涉算法根据王秀梅等 6]研究布局优化模型关于不干涉算法的证明得到，机床布局问题的不干涉约束 int nint R (i≠ ，i， ∈， )成立的充要条件为 k ∈，4或 z ∈，4，使得 maxmin(P P ) /'it l z∈厶，minPik-eft， n∥l k∈，4/>0，其中P (k∈厶)为 尺 的4个顶点，l 为P PmI1的单位外法向量，规定 P 川PI。。

记 R nR ，计算 的面积 S( )来表示 R 与足两者之间的干涉程度，具体计算方法参见冯恩民等l7 关于卫星舱布局研究的论文。

2.2 相邻算法(1)点与矩形的相邻度计算记点P。与矩形 尺 的相邻度为 s(Po)，则 S(P。)：minlP。P f，P ∈bot R 。计算点与矩形相邻度的步骤如下：步骤-，初始化，分别输人点 Po、R 的型心 、 ，旋转角 相邻度s(Po)0；步骤二，判断点 与矩形 R 是否干涉，判断方法与判断两个矩形是否干涉的方法相同(将点 看作矩形，即 PoP扪k∈，4)，若干涉，则 s(P。)0，并终止，若不干涉，跳步骤三；步骤三，计算 的各个顶点坐标 P 和外法向量；步骤四，计算点 到 各个顶点之间的向量PoP 确定 k ，使得I PoP IminIPoP I；步骤五，判断 P0P ·，lm ≥0是否成立，若成立，则计算 P0到 ， 、所在直线的距离 s i (点到直线的计算公式)，s(P。)s 。，终止，若不成立，转步骤六 ：步骤六，判断 P。P ·，l叭l1 ≥0是否成立，若成立，则计算P。到P川 ，P ，所在直线的距离s (点到直线的计算公式)，s(P。)s i ，终止，若不成立，则 s(P。)IPoP I，终止。

(2)两个矩形之间的相邻度计算矩形 R 对矩形 R 的相邻度记为g 的4个顶点与矩形 R 的相邻度分别为 s(P )，k∈，4，在 4个相邻度中选取最小的两个相邻度 s( ，)，S(P ，)，则-划-5 、《 十 Design0nd Research设计与研究g( )s(P .)s(P ，)。同理，可以计算得到矩形 R 对矩形 的相邻度记为 g( 两个矩形 尺 、 ，之间的相邻度记为g ming( 叫)，g( )。

将以上算法进行运算，得到的结果与用 Matlab画图进行比较，验证了不干涉算法和相邻算法的正确性。

2.3 改进的遗传算法本文针对机床带约束的布局优化问题，采用遗传算法来搜寻全局最优解。遗传算法中对布局变量进行十进制浮点数 (实数)编码，采用单点杂交和正态变异，终止准则为达到最大的进化代数或者迭代 20代，种群的质量都没有改进为止。在该遗传算法中，为了使重新布局的机床满足性能要求，设计了罚函数，与原目标函数结合作为整体的适应值函数，用来淘汰不满足约束的布局方案〃立适应值函数，应用遗传算法的主要步骤如下所述。

(1)适应值函数在建立适应值函数过程中，考虑了机床占地面积、图元之间的干涉量、点与矩形之间的相邻度和两个矩形图元之间的相邻度四方面。适应值函数包括-个目标项和 3个约束项(罚函数)，它们之间统-了量纲，分配了相应的权重(罚因子)，即P 口f(c ) (c )∞ s( )∑OJ2us (P )∑C03vgo o(2)式中：5( )为干涉度，s(P， )为第 u对点与矩形之间的相邻度，g， 为第 对矩形之间的相邻度，P为需求相邻度的点与矩形对的总数，q为需求相邻度的矩形对的总数。09。、 、 为各项的权重，它们的值可采用层次分析法根据实际机床的情况通过经验确定。

(2)染色体编码、单点杂交与正态变异染色体编码 ：[ ，Y，0]，其中 ，Y，0分别表示矩形图元型心的 坐标、Y坐标和图元相对于z 轴转过的角度：单点杂交：对个体 c.，c，，产生-个[0，1]的随机r 若 r

正态变异：对于个体 C c ， ( ， ，， )，～ N(o， )，i∈f ，且 ， ∈， 相互独立。

(3)改进的遗传算法的主要步骤步骤-，初始化，设定最大的进化代数 ，种群规模 Ⅳ，矩形布局图元的个数 n，矩形功能图元 m，长宽o ，需求相邻度的点与矩形对的总数P，需求相邻度的矩形对的总数 q，权重系数 。、 ： 、09， ，令进化代数为0，根据直角坐标，从DCR孤 中选取 Ⅳ个个体点，作得到 (P )。

为保证机床的加工性能，尺 (床身和工作台)中的加工区与 R (立柱、主轴和床身)中的主轴运动区相邻。采用矩形之间的相邻度算法得到 g 。

为便于对机床的操作观察，尺 (控制柜)与 (操作观察区)相邻。采用矩形之间的相邻度算法得到g5"7。

由机床以上约束知：P1，q2，结合式(2)，建立的适应值函数为c ) (c ) 1S( )∞21 s(ed) 31gl2 32g57(3)3.3 确定权重式(3)中60 、 ：。、 、∞ 为各个约束的罚因子，也可以看作是各个 目标的权重。应用层次分析法，对该机床的各个性能约束进行两两比较建立成对的比较矩阵，如表 2所示，经过归-化处理，令项 (c )前的系数确定为 1，可得到各个约束的权重分别为： 15。

表2 布局约束的比较矩阵性能 (C ) S(力) S(Pd) g12 g57(C ) 1 1/9 l/5 l/7 1/7S(力) 9 1 6 3 3S(Pd) 5 1/6 1 l/2 1/2g12 7 l/3 2 1 lg57 7 1/3 2 l 13.4 优化计算将机床的原布局方案 Cn作为-个初始个体，应用不干涉算法得到初始干涉量 S( )0，采用相邻度算法得到初始 s(P )0，g 0，g ，：0，将干涉量和相邻度值代人式(3)得初始适应值f(C )2.64X10 mm 。

根据经验改变 HMC63h机床各拈的布局位置，壬行的9种布局方案 c ，c ，，Cq，将它们作为 9个初始个体 ，加上原布局方案 ，建立初始种群 ，c ，，cq，其规模 Ⅳ10。数学表达第 后代种群，即P (Cl ，C2 ，，Cl0 ) ( 1 l，Y1 1，0l l，，PC1 ，Y1h，0l ， ， 1o l，Y10 1，010 l，， l0 ，Y1o ，0lo )其中 Ⅲ，YⅢ，Oi kj为-条染色体上的 3个布局参数，分别表示第 k代群体中第 i个个体点的第 个图元的型心的 坐标、Y坐标和图元相对于 Z.轴转过的角度；当k0时，P 表示初始种群，这时 C C ，i1，2，3， ，10。

输入得到的初始值 N、n、m、a 、P、q、 1、 2l、0331、等 u 0平 I删Desjgnand Research设计与研究，令 20，应用 Matlab按遗传算法步骤编程实现杂交、变异和筛选的过程，计算收敛得到优化结果。由于遗传算法变异与交叉的随机性，每次得到布局图元的位置参数都会不同，为克服这-困难，将结果中R的布局位置变换到原布局位置上，其他图元作相同的变换，变换后可得到统-的布局结果。从对称性上对布局结果略加调整，得到的机床布局结果如表3所示。

表 3 各图元布局优化后的位置、形状参数Xil 0 口Rl -l 300.5 -315.5 0 (3 632，1 556)2 1 054 -315 O (1 077，2 080)262.5 946.7 0 (2 647，277.559)兄 -2 666.5 779.9 r/2 (634，900)R5 -2 505 -l 673.1 (2 411，600)- 3 566 -3l5.1 O (900，1 556)- 572.5 -l 531.9 0 (1 456，1 029)图6为最终的二维布局图，由计算得到最终的矩形包络的值为 1.63 X10 mm ，二维占地面积减少了38.26%。对照图3和图6可以发现，位置变动的拈有 尺 (排屑机构)、R。(刀库)、R (电气柜)，减少的大部分占地面积是由于尺 (排屑机构)的位置变动。

图6 最终的机床二维矩形布局图图7 优化后机床三维俯视图根据得到的机床二维布局图，布置相应的机床三设计与研究 DesIgnand维拈，得到图7机床三维俯视图和图 8机床三维立体图。

HMC63h机床经过二维矩形布局图元转换，拈问约束添加，优化计算 3大步骤，得到优化的布局方案。通过优化前后布局的对比，发现机床占地面积优化很大程度来 自机床辅助拈的位置调整。

4 结语图8 优化后机床三维立体图本文提出了相邻算法，引用了不干涉算法。给出了改进的遗传算法。以机床所占的矩形包络面积最小为优化目标，在不干涉约束和相邻约束条件下，给出了对机床与地接触的底面拈可简化为矩形的这-类机床布局优化的-般数学建模的方法。最后引用实例，对HMC63h型号的机床进行了优化布局，得到了布局优化后的机床，其占地面积减少 38.26%，验证了该方法对机床二维布局优化的有效性。