弹性联轴器不对中转子一轴承系统的非线性动力特性及稳定性研究

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Nonlinear dynamic behaviors and stability of arotor-bearing system with flexible coupling misalignmentWAN Zhao，ING Jian-ping，MENG Guang，BAI Hui-yu(State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration，Shanghai Jiaotong University，Shanghai 200240，China)Abstract： The nonlinear dynamic behaviors and stability of a multi-disk rotor supposed by oil lubricated journalbearings with coupling misalignment were analyzed.The dynamic responses of the system with and without couplingmisalignment were obtained using a numerical integration method and comparative analysis was made. Spectra plots，Bifurcation diagrams，orbits，Poincar6 sections and the largest Lyapunov exponent were utilized to study the vibrationcharacteristics and stability of the system.The study showed that misalignment can cause 2X，3X，4X or even higherorders of super-harmonic resonances；the amplitude of 2X response can be larger than that of the 1 X response，and theamplitude decreases as the distance between the measuring points and the coupling increases；coupling misalignment candelay the occurrence of oil whip。

Key words：coupling misalignment；multi-disk rotor；oil lubricated journal bearing；oil whip在旋转机械中，不对中是仅次于不平衡的最常见的故障之-，联轴器不对中引起的附加作用力和力矩会诱发轴系的其它伴随故障，同时其它故障引起的轴系振动超标同样会引起不对中故障。不恰当的安装，转子的初始弯曲和热变形，非对称激励等使得轴系问不可能绝对对中。因此研究不对中的产生机理和其对转子振动响应的影响，对于轴系的安装调整、故障诊断、等均具有重要意义。

由于不对中故障引起的轴系振动响应特征较容易识别和调整，而建立较为准确和普适的联轴器不对中的动力学模型十分困难，所以对轴系不对中机理的研究却并不充分。尽管如此，国内外在对轴系不对中问基金项 目：国家自然科学基金(10732060)；国家973项目(2011CB706502)资助收稿 日期 ：2011-11-18 修改稿收到日期：2012-01-02第-作者 万 召 男，博士生，1982年11月生题的研究上仍然有-些富有意义的研究成果。夏松波等 综述了不对中故障的机理、特征及对轴系稳定性的影响，总结不对中故障特征；刘占生等 总结了联轴器不对中转子系统的建模和分析方法；赵广等 系统研究了齿式联轴器不对中的建模及对轴系振动的影响，通过实验研究了各种不对中状态下轴系振动响应的特征。xu等 。 实验和理论研究了联轴器不对中转子的不平衡响应，并指出不对中会引起高倍频响应；Patel等 - 实验研究了不对中转子系统的振动特征，指出除不对称外，转子裂纹和冈0度不对称等也会产生2X工频的振动响应，并提出全息频谱方法可以用于不对中故障的诊断；Sekhar等 推导了平行不对中和偏角不对中所引起的附加力和力矩模型，建立了不对中转子系统的有限元模型，分析并指出不对中附加力和力矩的作用位置对转子系统的弯曲模态和振动响应有很大影 响；Prabhakar等 分析 了联 轴器不 对 中转第 24期 万 召等：弹性联轴器不对中转子 -轴承系统的非线性动力特性及稳定性研究 21子 -轴承系统在跨越系统临界转速时的瞬态响应，并指出联轴器不对中对系统临界转速的影响可以忽略；Sudhakar等 系统地总结了联轴器不对中的建模，不对中对转子系统-阶临界转速和稳定性的影响，并讨论了不对中的诊断识别方法。

综上所述，对于不对中转子系统的绝大部分的研究均局限于线性范围内，没有考虑滑动轴承引起的非线性效应，且只关注于转子系统在若干关键转速下的振动响应特征，转子系统在升速过程中的全局频率响应特征很少被关注。本文建立了多盘转子 -滑动轴承的集聚质量模型，联轴器不对中引起的附加作用力和力矩被看作是作用于轴系上的外部激励，并考虑了非线性油膜力的影响。比较分析了在考虑联轴器不对中前后系统的振动响应特征和稳定性，分析了在升速过程中系统的频率响应特征，运动的分岔和周期特性。

1 不对中转子 -轴承系统的动力学模型图 1所示为某多盘转子 -轴承实验台的集聚质量模型，各轮盘之间由无质量弹性轴连接，左右两端轴承也简化成轮盘，不对中作用于左端轴承处。以XOZ平面为例，轮盘和轴的受力情况如图2所示，轮盘的动力学方程可写成 ：m F -F -F m e cos(cot)1. . . ， (1)J 0 - 0 - J其中： ， ， ， 分别为作用与轮盘左右两侧的力和力矩 ，由传递矩阵法可知 ，相邻轮盘间力与位移之间的关系为：XilXiLi 南 R% Li R (2)求解上述方程组可以解得 ， 是关于位移和转角的函数：R ( )- (20yiOy ) (Xi-Xi1) (OyiOy，i1)进-步由， 蝶 F 1.F J(3)(4)可以求得 ，F 也是关于位移和转角的函数〖虑边界条件：rF51 ， r 0 L My， 蝶0 (5)F。 lFh1 F l：Fh5综合边界条件，并将求得 ，F ， ， 分别为代入方程(1)即可得到轮盘的运动方程。写成矩阵形式有：[ ] [G ]y[ ]X (6)O Ol 02 03 04广] JLJ L二l图 1 多盘转子系统模型Fig.1 Simplified lumped mass model of the rotor system图2 轮盘和轴的受力示意图Fig.2 The forces and moments on the disk and shaft其中位移向量：J、OXX1，0 l，X2，0 ，，X5，0佰质量矩阵：[ ]diag( ) ml，J m2，Je2，，m5， 。

回转矩阵：[G ]diag( ) 0，l，Dl，0， ，，0， 外激励力向量为：F ， ，F ：，0，F 3，0，F ，0，F ，0其中：-1 c振 动 与 冲 击 2012年第 31卷 ， z 1 (7)MylMy1， 。妇 J不平衡力为：F eximi eto∞2 cio s(to o； )，i2，3，4 c8，非线性油膜力可表达为 ” ： ) F bxi1，i1，5 c9联轴器不对中产生的附加力和力矩为 ：Fx Q (1)Fx2[sin(tot)sin(2tot)sin(3tot)sin(4tot)]M 锄 Q (3)My2[sin(tot)sin(2tot)sin(3tot)sin(4tot)](10)其中： ：， 是联轴器静不对中(转子处于静止状态的不对中状态)所引起的附加力和力矩 ]。对于平行不对中产生的附加静力和静力矩为 ：Mx1Tqsin(01) 1 1MylTqsin( 1)-KbOl J Tqsin(0：)-K ：1 1My2Tqsin(q：)K 口： - F -( 1 y2)/Z3 1 F以-F l 1F 。( )/z。F但-F ·KaAZK.(△z) l (11) Fz1 J对于偏角不对中有 ：Mx101 Mx2-K603 1M olM Tqsin(0 )MzlTq/cOs(03)1Mz2- J1-( l十 )/Z3 1 2-F 1 1F 1( 。 2)/z3 F佗-F Fzl (Ko△z十Ko(AZ) )/-(03 l (12) Fz J其中： 为联轴器传递的额定扭矩， 为联轴器膜片的弯曲刚度， 为膜片轴向刚度，△z联轴器轴向变形，z，为铰结中心距，0，为偏角不对中角度。0。， 。为采用 Reverse Indicator Mthod1 测得的联轴器不对中量，测量结果如图 3所示，联轴器参数及不对中量如表 1所示 。

AX1(25-(-45))/235e～mm 1AY1(0-(20))/2-10e- mm JAX2(-18-32)/2-25e～mm1AY2(0-(-36))/218e mm J图 3 不对中的测量Fig.10 Misalignment measuringusing reverse indicator method01sin (AX1/Z3)0.2。 1l：sin (AY1/Z3)-0.06。J0，sin (AX2/Z3)-0.14。12sin (AY2/Z3)0.104。J表 1 联轴器不对中参数Tab.1 Parameters of the diaphragm coupling and misalignment2 不对中转子 -轴承系统的动力晌应特性转子及轴承系统参数如表 2所示。材料弹性模量为E210e9 Pa，轴系阻尼比 0.035。采用 4阶定步长 Runge-Kuta积分法求解微分方程组 ，积分步长取2/10 000，计算转子从 600 r/min升速至 7 200 r/min过程中的动力响应，并取稳态响应分析。

表 2 转子 -轴承系统参数Tab.2 Parameters of the rotor-bearing system项 目 值轮盘质量/kg ml2.4，m218，m320.2，m418，m52.2轴段长度/m L10.3，L20.332 5，L30.332 5，L40.3轴段直径/ram Dl45，D250，D350，D445轮盘极转动惯 。0.5， 105， 60，量/(10-kg·m ) 105， 0.4轮盘直径转动 。0.25，Ja255.6， 46，惯量/(1O～kg·m ) J 55.6，，d50.2轴承参数。 ：不平衡量/(g×mm) e312.5×75，e425×75，e50第24期 万 召等：弹性联轴器不对中转子 -轴承系统的非线性动力特性及稳定性研究 232不考虑不对中时系统的响应 喜取左端轴承(Disk-1)和左轮盘(Disk-2)的稳态 频率成份，lxl st和 2xlst分别表示转子系统的 1阶临响应分析。如图3、图4所示为转子在升速过程中左轴 界转速的 1倍和2倍频率成份。

20 40 6O 80 1oo I20 140 160flHz图3 左轴承水平振动响应频率级联图Fig.3 Spectra waterfal of the horizontalresponse of the left bearing图4 左轴承水平振动响应频率瀑布图Fig.4 Spectra cascade of the horizontalresponse of the left bearing从图 3、图4中可以看出，系统 1阶临界转速约为1 800 r/rain(30 Hz)，在转子转速小于4 200 r/min(70Hz)时，振动响应主要以不平衡引起的1X倍频为主，转子做同步正向涡动，伴有微小的2X和 3X倍频振动。

当转速超过4 200 r/min时，即大于 2倍 1阶临界转速时，在系统 1阶临界旋转频率30 Hz处开始出现强烈的振动，系统发生油膜振荡，油膜振荡频率不随转子旋转频率的升高和增加，而是锁定在系统-阶临界旋转频率附近，转子 -轴承系统处于由滑动轴承非线性油膜力引起的内激 自共振状态，油膜振荡的幅值远大于不平衡引起的振动幅值。升速过程中，油膜振荡并不发生在转子转速正好等于 2倍 1阶临界转速处，而是稍大于2倍 1阶临界转速。值得注意的是，数值仿真表明在发生油膜振荡时，振动响应还伴随有 2倍(2xl st)甚至3倍的1阶临界旋转频率，即系统还存在高阶谐共振。

图 5给出了转子左轴承在升速过程的均方根(RMS)幅值响应曲线和水平振动的分岔图。从 RMS幅值响应曲线可以看出，转子 1阶临界旋转频率约为30 Hz，在转速大于70 Hz时振幅急剧增大，开始发生油膜振荡。从分岔图中可以看出，在油膜振荡发生前振动响应在分岔图上的映射为单个点，即转子做单周期运动；在发生油膜振荡时，振动响应在分岔图上的映射为多个点，系统可能处于概周期运动也可能处于混沌状态。图6为在 1 200 r/rain和4 800 r/rain时转子的轴心轨迹和Poincar6截面图，可以看出在发生油膜振荡时，振动响应的 Poincar6截面图为极限环而不是离散点，从而可知发生油膜振荡时转子做概周期运动。图7是无不对中时系统响应的最大 Lyapunov指数，从图中0.50- 0.5Rotating Frequency/Hz(div2)图 5 左轴承的分岔图和 RMS幅值响应Fig.5 The bifurcation diagram andthe RMS amplitude response-o·5 0·5(a) 0rbit(20 Hz/1 200(r·rain。))X(C) Orbit(80 Hz/1200(r·min ))(b) Poincar6 sections(20 Hz/1200(r·min。))(d) Poincar6 sections(80 Hz/1200(r·rain ))图6 轴心轨迹和 Poincar6截面图Fig.6 The orbits and Poincar6 sectionsat different speeds of the left bearing可以观察到发生油膜振荡之前，最大 Lyapunov指数小于0，系统处于稳定的单周期运动状态；发生油膜振荡后，最大 Lyapunov指数无限接近于 0，系统处于临界稳定的概周期运动状态。

2.1 考虑联轴器不对中时系统的振动响应考虑联轴器不对中对轴系振动的影响，不对中产生的附加力和力矩作用于左轴承处，左轴承水平振动响应的频率瀑布图如图 8所示。对比图 4可以看出，除 1X倍频不平衡响应、lxl st和2xl st油膜振荡谐共振外，系统响应还包含明显的 2X，3X和 4X倍频频率成份，表明不对中会引起出 2X倍频振动外，还会引起3X，4X乃至更高阶倍频振动，其中2X倍频振动占主要地位。

O O -z(- ∞ 兰(IE《∞王 、0-×.砸言 乱IecoIsu9∈ 亡。之∞ 锚 如-基二)/-0-× QQ∞振 动 与 冲 击 2012年第 31卷≥ ·0 20 30 40 5O 6U 7O 8O 9OlO0 ll02ORotating Frequency/Hz fdiv2)图7 不考虑不对中时系统响应的最大Lyapunov指数Fig.7 The largest LyapunovExponent of the response ofmulti.disk rotor.bearing systemLeft Bearing Horizontal Response图 8 考虑联轴器不对中时振动响应的频率瀑布图Fig.8 Spectra cascade of thehorizontal response of the left bearingconsidering coupling misalignment图9为考虑不对中时左轴承的分岔图和RMS幅值响应曲线，对比图5并从幅值响应曲线可知，考虑不对中前后转子系统的 1阶临界转速几乎未发生变化，仍然约为30 Hz；但从分岔图可以看出，系统发生油膜振荡的频率约为 80 Hz，高于图5中不考虑不对中影响时油膜振荡开始出现的频率 7O Hz，表明不对中对油膜振荡可能有-定的抑制作用。图 10为考虑不对中时左轴承的轴心轨迹和 Poincar6截面图，在 3 000 r/min(50Hz)时，轴心轨迹呈外8”字形，是 1X和 2X倍频振动叠加的结果，Poincar6截面图仍然是单点；在 5 400r/min(90 nz)时，其 Poincar6截面图仍然是极限环。系统稳定性可从图 11系统响应的最大 Lyapunov指数曲线中看出，结合上-节的分析可知：考虑考虑不对中时，在发生油膜振荡前，转子系统做单周期运动，处于稳定状态；发现油膜振荡后，转子系统同做概周期运动，系统处于临界稳定状态，即考虑不对中前后系统运动的周期特性和稳定性没发生变化。

为进-步研究不对中对轴系振动的影响，图 12给出了在考虑和不考虑不对中影响下左轮盘(Disk-2)的RMS幅值响应曲线，比较分析可以发现，系统的1阶≥Rotating Frequency/Hz(div2)图 11 考虑不对中时系统响应的最大 Lyapunov指数Fig.1 1 The Largest Lyapunov Exponentof the response of multi-disk rotor-·bearingsystem considering coupling misalignmentRotating Frequency/Hz(div2)图9 考虑不对中时左轴承的分岔图和 RMS幅值响应Fig.9 The bifurcation diagram and theRMS amplitude response of the leftbearing considering coupling misalignment临界转速基本保持不变，即不对中对转子系统临界转速的影响可以忽略，而系统振动的幅值和发生油膜振荡的转速都发生了变化：考虑不对中影响后，转子系统发生油膜振荡的转速增加，油膜振荡的振幅下降。图OOO- O. OOj-0·6 o·40·2 o·2 0·4 0·6(a)Orbit(50 Hz/3000(r·min。))-0.6-0.4 0.2 0 0.2 0 4 0 6(b)Poincar6 sections(50 Hz/3000(r·rain ))窭1 I....... -.---J(c)Orbit 、 (d)Poincar6 sections(90 Hz/5400(r·min )) (90 Hz/5400(r·min-)图 10 考虑不对中时左轴承的轴心轨迹和 Poincar6截面图Fig.10 The orbits and Poincar6 sections atdiferent speeds of the left bearingconsidering coupling misalignmentRMS Amp.Speed Left Diskl0 2O 3O 4O 5O 6O 7O 8O 901OO 1lOl2ORotating Frequency/Hz(div2)图 12 左轮盘的 RMS幅值响应曲线Fig.12 The RMS amplitude-speedresponse of the left disk图 13 考虑联轴器不对中时左轮盘振动响应的频率瀑布图Fig.13 The spectracascade of the left diskO O 0 0 O O O -z/-(7 七 忡 )mpf 基也E《∞ 、N.0I×Ja舌 乱- uoIsuauJ lo2。

2 O 0 4 .≥ ×Hc 亡& ×u>2 △m .1 sa P]2 O 0 之 0 40×1cmc&x>2nd lsm6J∞J第24期 万 召等：弹性联轴器不对中转子-轴承系统的非线性动力特性及稳定性研究13给出了考虑不对中时左轮盘(Disk-2/Left Disk)振动响应的频率瀑布图，对比图8-左轴承(Disk-1/LeftBearing)振动响应的频谱图可以发现，左轮盘处由不对中引起的2X，3X倍频等高倍频成份的不如图 8中的显著，且其倍频振动能量要远远小于 1X倍频振动能量，可见由不平衡引起的 1X振动在左 Disk-2的振动响应中占据主导地位。

3 结 论本文系统地研究了联轴器不对中影响下滑动轴承支撑的多盘转子的非线性动力响应特征及稳定性，联轴器不对中所引起的附加力和力矩被看作是转子 -轴承系统的外部激励，比较分析了在考虑不对中影响前后，转子 -轴承系统在升速过程中的频率响应特征、运动周期性及稳定性。

研究表明联轴器不对中会引起 2X，3X，4X等高阶倍频的振动响应，其中2X倍频振动占据主导地位。联轴器不对中对转子系统的 1阶固有频率的影响可以忽略，也不影响系统运动的周期性和分岔特性。数值分析指出不对中会对系统振动有-定程度的抑制作用，并可使系统发生油膜振荡的临界转速提高，进而增大转子系统的稳定性范围，不对中对油膜振荡和转子系统稳定性影响还有待进-步研究。