整体传递矩阵法求解双转子系统临界转速的改进

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对现代双转子或三转子结构的航空发动机整机临界转速的求解，整体传递矩阵法提供了-种较好的解决思路n-，有效地克服了分振型综合法等子结构传递矩阵法中在耦合单元处需引入未知内力和未知位移 的困难。实际运算中，由于转子轴系结构的复杂性，各轴在单元划分时单元数量不尽相同，同时各轴的耦合单元位置也不完全相同，因此，在计算时为满足整体传递矩阵法中各子结构单元数目相同，且逻辑对齐的要求，需要添加不同数量的虚段 。即导致在计算前，根据划分的具体单元情况，须人为地在相应位置添加虚段数。另外，对相同转子轴系的计算程序，若根据计算的需要重新划分其单元数或耦合单元位置，则针对具体的变化情况，程序须做较大调整，很难实现真正意义上的程序通用化。为克服以上缺陷，本文提出-种改进的整体传递矩阵算法，有效避免了各子结构单元数目相同且逻辑对齐的要求，不须人为 l南(1-u)(相 -K )南 - )2(， K )(栅 K i)添加虚段或仅在固定位置添加1个或2个虚段，实现了程序通用化。

1整体传递矩阵法图1是某双转子发动机简化的计算模型，整个轴系被划分为2个约束子系统，即转子I(低压转子)与转子II(高压转子)。系统共有7个弹性支承，其中3号和4号支承为中介支承，即整个系统有2个耦合单元(对于转子I为第7单元和第13单元，对于转子II为第12单元和第 15单元)。其中，各单元为理想传递单元。

即单元左端为-圆盘，参数为m、，b、，d，且有弹性支承，其线刚度和力矩刚度分别为K i和 ；右端为-等截面的无重轴，参数为z、E、J、 。设 为轴的自转角速度，为轴的进动角速度。根据整体传递计算算法，在考虑陀螺力矩和剪切效应的影响时，单元的传递矩阵为：面2(， 茜-，d) K )l 1，O9- ，d)力 )(，p -， )力 K0若某-单元为不完全单元，只须令其相应参数为0即可。

为了实现整体结构沿-条直线传递，要求各子结构(各轴)单元数目相同，且逻辑对齐。若不相同，则通过添加虚度来实现。例如图1所示的计算模型，在计算之前，需根据转子I对应的第-个耦合单元编号收稿日期：2012.10.26； 修回日期 ：2012.12.31作者简介：徐可君 (1963-)，男，教授，博导，博士。

面2 上6EJ(1- ) 2Z ZEJ 2EJ1 Z0 1为第7单元，而对于转子II对应的耦合单元编号为第12单元的实际情况，要给转子I添加5个虚段。又由于在2个耦合单元之间，转子I的单元数比转子I多，因此，当传递过第1个耦合单元时，又需要给转子I添加3个虚段。同理，当传递过第2个耦合单元时，需给转子I添加4个虚段。至此，即可把各子结构相应节点·l34· 海羊航空工程学兜学报 第28卷的状态向量放在同-列中，构成整体状态向量，而把各子结构相应单元的传递矩阵放在同-方阵中，构成整体传递矩阵。若遇耦合单元则乘以相应的耦合矩阵。如此，整个结构从最左端传递到最右端之后，即可得到整体传递矩阵。然后，根据整体边界条件，就可求得相应的临界转速。

显见，在上述计算过程中，虚段的添加数量和添加位置与具体的轴系结构单元划分数量和划分方法密切相关。对于实际复杂的转子轴系，为节约计算成本，在计算临界转速过程中，往往在不影响精度的前提下，划分得较为粗糙。而在计算轴系振型时，为得到较为准确的振型图，往往会划分得较为精细，此时虚段添加位置和数量就会明显变化，相应的计算程序就需做较大调整，无法实现真正的通用化。

2整体传递矩阵法改进及算例分析图1计算模型针对上述整体传递矩阵法计算过程中，虚段添加数量和添加位置与具体的轴系结构单元划分数量和划分方法密切相关，无法实现计算程序真正通用化的缺陷，本文提出如下的改进方法：即根据具体转子中介轴承所处的位置，将整个轴系划分为综合非耦合大单元和综合耦合大单元2大类；然后，将这2类大单元依次相乘即可得到综合传递矩阵。具体计算步骤以图1所示的计算模型为例进行说明。

1)对于图l所示的计算模型，根据其中介轴承所处的位置，将整个轴系划分为如图2所示的5个综合大单元。其中，在图2所示的单元划分中，第1个综合大单元为综合非耦合大单元，包括3号中介轴承前面转子I的1-6号单元和转子I的l～11号单元；第2个综合大单元为综合耦合大单元，包括转子I的第7号耦合单元和转子I的第l2号耦合单元；第3个综合大单元为综合非耦合大单元，包括3号和4号中介轴承之间转子I的8～12号单元和转子I的1314号单元；第4个综合大单元为综合耦合大单元，包括转子I的第13号耦合单元和转子I的第l5号耦合单元；第5个综合大单元为综合非耦合大单元，包括4号中介轴承后面的转子I的l4～17号单元和转子II的16--23号单元。

图2综合大单元的划分2)综合非耦合大单元的合成。由于综合非耦合大单元中既包括转子I的单元也包括转子II的单元，故为了得到合成的大单元，分别将大单元中包含的转子I和转子I的单元传递矩阵相乘(不妨设为 u! )，第2期 徐可君，等：整体传递矩阵法求解双转子系统临界转速的改进 ·l35·则得到传递矩阵UI，1 I。 1和U”I I1··H。I u (其中i、jTf1]i'.。

分别为综合非耦合大单元中对应转子I和I首单元和末单元的编号)。由传递矩阵 和 ”构成如下的综合非耦合大单元的整体传递矩阵：- 0] ， 10 l。

按照上面的方法对于图l的计算模型可得到综合非耦合大单元 、 和 。

3)综合耦合大单元的合成。对于综合耦合大单元，直接由整体传递矩阵法中的耦合矩阵给出。如此，可以直接得到图1所示计算模型中的综合耦合大单元 和 。

4)综合传递矩阵的合成。根据得到的综合非耦合大单元和综合耦合大单元，按照从后到前的顺序依次传递即可得到综合传递矩阵，即对于图1所示计算模型的整体传递矩阵为 · · · · o (3)5)根据轴系的整体边界条件即可求得相应转子的临界转速或固有频率。

分析以上计算思路可以看出，改进后的整体传递矩阵法没有添加任何虚段，从而可以很好地避免针对不同划分方法虚段的添加数量和添加位置不确定的缺陷。但应当指出的是对于某些中介轴承处于转子两端起始位置的畸形结构，例如文献[9中所给的如图3所示的-类转子轴系结构，应用该方法编制通用计算程序时，应该在其转子I的2个中介轴承两侧各添加- 个虚段，其他步骤与上述计算过程相同。

图3文献9所示计算模型由此可见，虽然本文提出的改进算法针对特殊的转子轴系畸形结构也须增添1个或2个虚段，但虚段增加的位置却固定为转子的起始端或末端或者两端同时增添。因此，该算法仍然能够消除虚段添加数量和添加位置与具体单元划分数量和划分方法密切相关的依赖关系，对于同-程序能够适应于单元数量的任意划分，可实现真正的通用化程序编写。图4为改进后的整体传递矩阵法计算流程图(其中n表示耦合单元的个数)。

为验证本文方法的有效性和正确性，以图3所示的文献[9]中的模型为例进行计算，表1和表2分别为利用本文方法和拉格朗日方程得到正、反涡动前5阶固有频率的对比。

图4 改进的整体传递矩阵法计算流程表 1正向涡动固有频率计算结果 rad/s表2反向涡动固有频率计算结果 rad/s分析表1和表2可以得出，本文方法具有较高的计算精度(最大误差为0.001 7%)，证明了本文方法的有效性和准确性。

3 结论在对整体传递矩阵法深入研究的基础上，提出了- 种改进算法。该方法较好地解决了传统整体传递矩阵法中虚段添加数量和添加位置与具体的轴系结·136· 海羊航空工程学院学报 第28卷构单元划分数量和划分方法密切相关，无法实现计算程序真正通用化的缺陷。利用算例进-步证明了该、方法的有效性和准确性。但该方法主要适应于各种双转子结构系统，通过适当修改可进-步推广到3转子或其他多转子系统。