内啮合齿轮泵不同传动型式时的排量计算

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2013年第10期 液压与气动 81DOI：10．11832／j．issn．1000-4858．2013．10．022内啮合齿轮泵不同传动型式时的排量计算钱志达。祝海林，秦兴培，吴宏能，潘 俊Displacement Calculation for Internal Gear Pumpin Different Drive SystemsQIAN Zhi-da，ZHU Hai·lin，QIN Xing-pei，WU Hong-neng，PAN Jun(常州大学 机械工程学院，江苏 常州 213016)摘 要：现有文献中内啮合齿轮泵的排量计算公式各不相同，计算结果不够精确。根据内啮合齿轮泵的工作原理，针对齿轮传动类型的特点，分别推导不同传动型式时内啮合齿轮泵的排量公式，可为内啮合齿轮泵的设计、开发提供参考。

关键词：内啮合齿轮泵；排量；计算公式；齿轮传动中图分类号：TH137；TH325 文献标志码：B 文章编号：1000-4858(2013)10-0081-04引言齿轮泵是液压传动系统中一种常用的液压泵，按齿轮啮合形式可分为内啮合齿轮泵和外啮合齿轮泵两种。内啮合齿轮泵按齿轮的传动类型可分为标准齿轮传动、等变位齿轮传动、正传动和负传动。内啮合齿轮泵有结构紧凑、质量轻、尺寸小等优点，而且由于齿轮同向旋转，相对滑动速度小，磨损轻微，使用寿命长，流量脉动小，因而压力脉动和噪声都比较小。同时，油液在离心力作用下易充满齿间槽 ，故允许高速旋转，容积效率较高 ¨。

齿轮泵的排量是指齿轮泵每转一转所排出的液体体积，是齿轮泵的一项重要指标。因此排量的正确计算是齿轮泵设计、制造和使用中常见的问题。在现有资料中，内啮合齿轮泵的排量计算有多种方法。工程计算中，通常采用以下几个近似计算公式：(1)第一种近似公式 假设齿间的工作容积与轮齿的有效体积相等，则齿轮泵每转排量等于小齿轮的所有齿问工作容积和所有轮齿有效体积之和，即等于小齿轮齿顶圆与基圆之间的环形圆柱的体积。则齿轮泵的排量为 j：q=2,rzm B×10 (1)式中，m—— 模数，mmz—— 小齿轮的齿数日—— 齿宽，IBm(2)第二种近似公式 根据内啮合齿轮泵的工作原理，在其工作过程中，每转排量等于主、从动齿轮所有轮齿的有效体积之和。其横截面的近似面积为以小齿轮中心为圆心，小齿轮的齿顶 圆半径与大齿轮的齿顶圆到小齿轮中心的圆心最近距离为半径的环形收稿 日期：2013-04—15基金项 目：国家 自然科学基金资助项 目(51075046)作者简：介：钱志达(1987一)，男，江苏常熟人，硕士研究生，研究方向为液压传动与控制。

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82 液压与气动 2013年第 10期面积 ：q=,rB[r2 1一(r 一n) ]X 10一 (2)式中，r 、ra2—— 小齿轮 1、内齿轮2齿顶圆半径口—— 两齿轮的中心距，mmB—— 齿宽，mm从式(1)和式(2)可知，计算公式形式简单，计算方便。然而，内啮合齿轮泵排量的精密测量不适合使用上述两种近似公式，因此，需要采用更加精确的计算方法。

1 内啮合齿轮泵的排量精确计算1．1 标准齿轮传动泵的排量计算根据齿轮啮合基本定理，节圆上对应点的速度相等 J：r =∞ r (3)式中， 和 —— 小齿轮 1、内齿轮 2的角速度r：和r ——小齿轮1、内齿轮2的节圆半径将 09 和∞：分别乘以 ，可以得到小齿轮 1转过，内齿轮 2转过d ，即：091 X dt= d 12×dt= d 2将以上两式代人式(3)可得：d 2=／'1／r2 X l (4)此时，小齿轮 1包围压油腔的齿面所扫过的容积d 等于其齿廓线所扫过的面积(这个面积就等于 r和 r 。转过 。角扫过的扇形面积之差)乘 以齿宽(见图 1)，即：dVl=B(r2 ld l／2一r2 ld l／2)= B／2(r： 一r2 。) (5)图1 任意齿廓的轮齿转动时扫过的面积同理内齿轮 2包 围压油腔 的齿面所扫过的容积为：d =B(r d 2／2一r d 2／2)=B／2(r2Il一r2a)d 2 (6)将式(4)代人式(6)可得：,tv2=BI2(r'~／r'2)(r2 一r2a)d 1 (7)式中，r 、ra2—— 小齿轮 1 内齿轮2齿顶圆半径r 、r —— 小齿轮 1、内齿轮2的啮合半径所以在 时间内，齿轮泵从压油腔排出的油液体积为：dV：dVl+dv2= B／2[(r： 一r2 )+(r'l／r )(r2 ～r2 )]d ，(8)将上式两边同除以时间 df，即可求得内啮合齿轮泵的瞬时流量为：Q h=dWdt= Bwl／2[(r2 一r2 )+(r'l／r )(r2 一r2a)] (9)由图2可知：r
2 1=(r1+h 1) =r +2rlh 1+h2 l (1o)r
2
a2=(r1一ha2) =r 一2r2ha2+ (1 1)式中，h 、h —— 小齿轮 1和内齿轮2的齿顶高r 、r —— 小齿轮 1、内齿轮2的分度圆半径图2 内啮合齿轮泵齿轮啮合示意图式(9)中含有 r 。和rn2两个 自变量，可利用三角形勾股定理求出，图3中厂为啮合点 c至节点 P的距离，过C点作0。0 P的垂线与0 O P交于G点，同时令 GP： k，则：r
2= (r：一Jj}) +(f 一后 )=r|2—2kr +厂 (12)r
2
n2=(r 一 ) +(， 一k )=r 一2kr + (13)C，== l02 D． 生r图3 啮合点与齿轮中心的几何关系将式(10)～式(13)代人式(9)得：Q h=Bto1／212r：(h 1+he)+h：l一 (r'i／r ) 一(1一r：／r )f ] (14)2013年第 1O期 液压与气动 83对有侧隙的内啮合渐开线齿轮泵而言，小齿轮 1每转过一齿(即每转过一个基节 )，就有一个新的啮合点形成。当小齿轮 l转过一个基节 时，排出的油液体积(即一对齿轮在啮合过程中的排油体积) ，可通过对瞬时流量公式(14)积分而得：= f Q hdt=Bwl／2IT[2r：(h 1+ha2)+：。一r ／ 一(1一rl／r ]d￡ (15)式中， —— 齿轮转过一个基节所需要的时间在这个积分式中有两个变量 (，和 t)，不便于积分。为了将它们统一为一个变量 啮合点 C至节点 P的距离，当啮合点未到达节点P以前，为负值，啮合点越过点P以后厂为正值)，根据渐开线的性质，有f=rbl 1，贝4 df=rbl 1dt，所以：dt=af／(rbl 1) (16)将式(16)代入(15)，并考虑到积分的变换(由啮合曲线可见，每对齿轮在f：一f。处开始参加排油，在，=tj—z 处排油结束。因此，其积分限为 一z。一tj—z。，其中Z。=ctj／2， 一 重合度)，则：．ti—nl，n=B／2rb1 I。[：( 。+日2)+^：l—Ir
：／r 一1
(
2r
—
h)
h
1 r'
~
／r'
2 f ]( (17)即：=Btj／2rb1[2r1(h 1+ha2)+ ^一r：／r 一(1一r'l／r'2)ke×trill2] (18)式中，ke=3 一68+4又考虑到齿轮的性质 tj=21rrb ／z ，则：=,rB／z1[2r：(h l+ha2)+h。1一rl／r一 (1一rl／r~)ke×tj2／12] (19)排量g等于一对齿轮在啮合过程中的排油体积和小齿轮 1齿数 的乘积，即：g=Z。 =~rB[2r：( +h1)+ ：。一r ／一 (1一rl／r )ke×tfi／12] (2o)式中， e=3e 一6E+4式(20)即为文献中内啮合齿轮泵的精确排量公式 。

又有一对标准安装的内啮合齿轮泵的参数 为：h 1= h日2 = m， 1= 1= 1／2 × l，2 = 2= 1／2 ×mz2， = 20。

将这些参数代人式(2O)，可得：q=7rm B[2zI+(1一Z1／z2)(1—0．726ke)] (21)式中，ke=3 一6 +4若取重合度为1，则k =1，可得：g='ITm B(2z1—0．274z1／z2+0．274) (22)1．2 等变位齿轮传动泵的排量计算当两齿轮的总变位系数 =0，但是变位系数。=一9t； ≠0时，齿轮传动类型为等变位传动。此传动的啮合特点为 ]：啮合角Ot = ，中心距a =a中心距变动系数Y=0齿高变动系数 Ay=0亦即分度圆和节圆重合。与标准齿轮比较 ，小齿轮 1的齿顶圆半径增加了 m，内齿轮 2则相反，即 ：h。1=( + 1)m，ha2=( 一 2)m，l：= 1=1／2×mzl，r2= 2 1／2×mz2，Ol=20。

将这些参数代人式(20)，可得：g=Tra {2z1一Z-1／z2[(戈1—1) 一0．726ke]+( ，+2) 一3—0．726ke} (23)1．3 角度变位齿轮泵的排量计算当两轮的 >0，齿轮传动类型为正传动。此传动的啮合特点为 ]：0c
。
l>Ot=20。，a >a，Y>0，Ay>0；亦即分度圆小于节圆。

当两轮的 <0，为变位齿轮负传动。此传动的啮合特点为：0t‘< =20。
，
a‘< a
，Y<0，Ay>0；亦即分度圆大于节圆。

即：h =( + 1一Ay)mha2=( 一 2+Ay)m1：= 1／2 ×mz1，r2 = 1／2 ×mz2r1 ：= r1C080b／C08~
， r2 = r2cos0 c0so／=20。，Y =z／2(COSCY．／COS~ 一1)△，’= ∑ 一Yr
2 l=(rl+h 1) =r2j+2rIh l+hlI (24)r
2a2=(r2一h日2)2=r2—2r2ha2+ (25)r 。=(r：一|j}) +(f 一k )：r 一2kr1十， (26)r2n2=(r —Ii}) +(f 一k )=r 一2kr +， (27)将式( )～(27)代入式(9)可得：液压与气动 2013年第 10期Q =B ／2[(r 一rl／r X ri)+(2r h + 。)～ r：(r：一r )+rl／r (2r：h 一h )一(1一rl／r )f ] (28)同理式(17)，对式(28)进行积分可得= Jt；Qs df= r 一r r；)+(2r h ，+h2 )一r：(r：一r )+rl／r(2r：h以一h )一(1一r：／r )f ]d (29)即：= B／2 rb1 [(r —r r；)+(2rih + ： )一 r：(r；一r )+r：／r (2r：h 一h )一 (1一rl／r )f ]d厂 (30)可以得出 ：q=竹m B[ 1(2+ 1一 2)+1／4(z — 1 2)+(1+ 1一Ay) 一 1／z2(1一 2+Ay) 一1／4(COS ~／eOS ) 1( 1一z2)一1／12~ke COS (1一zl／z2)] (31)式中：e= 3 一6 +4c0s =a／a’c0s ( =20。)△y= ∑一0．5z∑(cos ／c0s 一1)2 排量公式的计算实例分析2．1 标准齿轮传动泵的排量计算取齿数z1=20、z2=39， 1=20、z2=59和 1=24、z =59，齿轮的模数m=4 mm，齿轮的齿宽B=60 mm时，用公式(1)、公式(20)和公式(22)计算这三个泵的排量，其结果如表 1所示。

表 1 排量公式计算结果(1)式(1) 式(20) 式(21)z．：20120．576 l20．978 120．978z =39z．：20120．576 121．122 121．122z =59z =24144．69l 145．181 145．181z =592．2 等变位齿轮传动泵的排量计算取齿数z =16，z =45，齿轮的模数m=3 mm，齿宽B =10 mm， =20。， 1=0．32， 2=一0．32，用公式(1)、(2)、(20)和公式(23)计算这个泵的排量，其结果如表2所示。

表2 排量公式计算结果(2)式(1) 式(2) 式(20) 式(23)， = 169．O48 8．937 9．600 9．591= 452．3 角度变位齿轮传动泵的排量计算取齿数 =13、z =20，齿轮的模数 m ：2．117mm，齿宽B=15．95 mm，重合度 ：1．1176， =20。，= 29．3。， 1=0．5515， 2=0．8977，用公式(1)、公式(2)、公式(20)和公式(31)计算这个泵的排量，其结果如表 3所示。

表 3 排量公式计算结果(3)式(1) 式(2) 式(20) 式(31)z．=135．846 5．530 6．056 6．06lz =20在表 1、表2、表3中，公式(20)的计算结果为精确的计算值，公式(1)、(2)的计算结果为近似值。

由表 1～表 3可以看出，推导的公式(21)、(23)、(31)的计算结果和精确值基本相同。精确值要比公式(1)、(2)的计算值大一些，这一结果符合内啮合齿轮泵齿间的容积要比轮齿的有效体积大的情况。

3 结论在各种机械液压系统中，内啮合齿轮泵得到了广泛应用，特别是精密微型泵的应用。排量是齿轮泵设计时的主要参数，因此排量的精确计算十分重要。本研究推导出的公式(21)、(23)、(31)完全可以满足不同传动形式时的内啮合齿轮泵的排量计算，具有计算简便、结果精确的优点，可以为内啮合齿轮泵的设计与制造提供参考。

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