一种新型并联机构的工作空间分析

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并联机床与传统机床相比具有刚度好、承载能力大、速度快，位置精度高，结构紧凑等特点，在机械工业中具有很重要的地位和发展价值，很多情况应用二、三、四或五自由度的机构就可以满足使用要求，由于相对于六自由度并联机构，少自由度并联机构具有结构简单、造价低等特点，并且在构造并联机床、以及各种特殊用途机器人方面有着广阔的应用前景，近年来倍受关注并开始成为机器人领域的-个新的研究热点.工作空间是并联机构的-个最重要的性能指标 在机床结构设计时，往往需要考虑工作空间的形状对工作空间的影响，因此工作空间是并联机构设计和优化的主要因素。

1 机构组成及拓扑结构特征UPS-2RPS并联机构 7 3是含有串联输入支链的具有两个平移和两个转动自由度的新型少 自由度并联机构.该并联机构(如图 1)是由动平台、定平台及连接他们的三条支链构成，这里，U，P和s分别表示虎克铰、移动副和球副.支链 UPS、RPS与动平台之间通过球铰相连，UPS支链与定平台通过虎克铰相连，两条 RPS支链通过转动副与定平台相连，3P内副和1R外副为主动副，两条RPS支路结构相同，机构耦合度k0，具有完全控制解耦性.-条支链的主动内副P与主动外副R够成串联① 收稿 日期：2012-l2-19基金项目：4-t木斯大学项目(12008-109)。

作者简介：桂兴春(1964-)，男，黑龙江桦南人 ，副教授，硕士输入.但支路间为并联输入，因此不失并联机构的特性.文献[7]给出了该机构基于支路单开链单元的并联机构拓扑机构型综合的方法.该并联机构因含有串联输入支链 ，所以三条运动支链可满足四自由度要求，使其结构相对简单，姿态调整能力强，并具有较大的工作空间，制造成本降低并可作为可重构拈。

图 1 UPS-2RPS 并联机器人2 UPs-2RPs并联机构坐标系的建立如图2所示，支链Ai (i1，2，3)-端通过球铰与动平台连接，A (f2，3)通过转动副与静平台连接，支链A -端通过万向节与静平台连接，动、静平台的形状可以是任意的，为了便于理论第 1期 桂兴春，等：-种新型并联机构的工作空间分析 89分析，我们将其视为正三角形.静坐标 系 0 -的原点 0 位于下平台的几何中心，其轴垂直于静平台，正方向向上， 轴正方向过 。

点， 轴的方向由右手定则确定.同理，动坐标系0 - ZA的原点0 位于动平台的几何中心，其轴与动平台垂直， 轴与 轴平行通过A，点，轴由右手定则确定。

图2 UPS-2RPS并联机构的结构简图3 UPS-2RPS并联机构末端姿态的描述由机构自由度计算公式 可知UPS-2RPS并联机构是-个4自由度的机构F6(n-m-1)∑ 4 (1)i1式中，F为自由度；n为机构总数；m这运动副数目；. 为第 个运动副的自由度数。

可知 UPS-2RPS并联机构中3个移动副为其内副，-个转动副为其外副，这三个移动副和-个转动副为该机构的驱动副，即3个支链中的-个支链(A )包含串联输入，动平台有4个活动度，动平台有4个点位可控自由度，分别为沿z轴和 轴的移动，绕 轴和l，轴的转动，故UPS-2RPS并联机构是可实现两平移两转动的并联结构。

4 UPS-2RPS并联机构的位置逆解动平台的外接圆半径为 ，静平台的外接圆半径为 .令Ai为动平台的第i个铰点在动坐标系0 - ZA中的坐标，故Ai为相对坐标； 为静平台的第i个铰点在定坐标系D - 中的坐标；ci为动平台的第 个铰点在定坐标系0 - Z 中的坐标；[R]为由动坐标系 D -到静标系D - 的旋转矩阵则[ Za] rA[COSf sinot 0] (2) [%f Z ] [cos sina 0] (3)C [ ZA ] (4)式中，i1，2，3，% (i-1)2r/3，即B [ 0 0]B [-rB/2 /2 0]B，[ /2-√ /2 0]由于UPS-2RPS并联机构的A2 2，A3 3支链与静平台是通过转动副连接的机构特点，故上平台不能绕定坐标 轴转动，只能绕 ， 轴旋转，旋转的角度分别为 ，p，则移动参考系变换到固定参考系的旋转矩阵[R]为[ c。0s -：o][-cooR 0 0。1。

00 sina COSO/ sinB 0 co sB]c5， [ ]Io IL - J用齐次坐标矩阵来表示动平台的位置姿势矩阵 GG：f R P1移动参考系O - 中的任-点Q[Y z ]在固定坐标系O - 中为团 (6)PP如P P 为动平台中心O 在固定参考系中的绝对坐标，在 2UPS-RPS机构的初始分析位型中P0 0 P 。

由(6)式可以得出C [R]A P (7)r co ]c1rAI sinotsin l/p，- sinotsinflJ厂 -0.5cosB ] rAl-0.5sinasir4%osa/2 It.p；0.5cosasiq84'sina/2-1厂 -0.5cos/ ] rAI-0.5sinasir-4'cosa/2 ILp 0.5cosasiq8- in0，/2J当给定了动平台的位置和姿态(输出)，即位置矩阵P和旋转角度 ， 时，伸缩杆长(输出)就可以确定为 丽 [( - ) ( -yci)( - ) ] (8)佳 木 斯 大 学 学 报 (自 然 科 学 版 ) 2013年(8)式即为 UPS-2RPS并联机器人运动逆解方程。

L1[(rB～ co )。(-rasinasin/3)(racosasin/3- ) ]L2[(-0.5rB0.5rAco )((4c3/2)rB0.5rasinasin/3-(u/-3/2)rAeos)( Q5rAcosasin/3(4/2)rAsina) ] /2L3[(-0.5r口0.5rAco )((- 2) 0.5rasinasin/3(422)qcosa)((4r3/2)rasina-Q5racosasin/3- ) ]5 UPS-2RPS并联机构工作空间分析5.1 影响工作空间的几个因素a.杆长的限制.并联机构的杆长主要是由杆套及伸缩杆的长度决定的。

b.运动副的限制.虎克铰即可连接固定平台和运动平台，还可增强驱动杆的运动灵敏性，受并联机床的机构因素的影响，会限制虎克铰的转动角度范围；c.干涉影响.相邻的驱动杆之间，驱动杆与平行机构的连杆之间、以及驱动杆与平行机构的圆盘之间会发生干涉现象，对工作空间的影响很大；d.奇异位置，又称奇异点或死点.当机构运动到该位置时，并联机构将出现运动方向的不定性。

工作空间的奇异位置-般分为两种，-是工作空间的边界，当机器人运动到边界后，再不能向边界外运动，这种边界位置是-类奇异位置.另-种是发生在机器人工作空间内部的奇异性，是由于两个或两个以上关节轴线共线而产生的，这时机器人机构的雅可比矩阵行列式为0。

下面就上述各项对本文所研究的2UPS-RPS并联机构做以下说明：1)本文所讨论的三杆并联机器人的活动平台位姿在工作中保持不变，这里所讨论的工作空间是指实际作业空间，选取的参考点为动平台的型心O 。

2)影响工作空间的因素主要是杆长和虎克铰的限制，无干涉影响和奇异位形 J。

3)研究该机构工作空间所用的方法为极限边界搜索算法5.1.1 杆长的限制- 般通过改变杆长来控制平台的位姿，因此杆长约束是-个基本约束条件.其数学表达形式为f i ≤2 ≤f (i1，2，3)式中，f i 为最短杆长，Z 为最长杆长，fI为第 i个连杆矢量。

5.1.2 球铰及虎克铰许用转角限制UPS～2RPS并联机构的连杆与平台之间的连接有球铰及虎克铰(除支链 A B ，A，B。与静平台连接处外)，球铰和虎克铰的转角范围是有限制的，以球面副为例(如图3)，球面副的转角 0是由与球面副联结 的杆向量 U之间的夹角.-般地，0<0 ，虎克铰的转角范围与球铰类似。

图3 球面副转角 图4 关节转角约束5 以禾端执仃器坝点为参照的工作空 间若第 i个连杆的两个端点用 a 和 b 表示(图4)，n ，b 处球铰 轴分别表示为 n 连杆向量表示为 fi，球铰的转角为- os 半 (9)arc cos (1o)式(9)和式(1O)中的所有矢量都是相对于极坐标系的.平台安装完毕后， 相对于基坐标系B的表示为常矢量， 相对于动坐标系A的表示为常矢量，故式(9)需要变化为 。s )第 1期 桂兴春，等：-种新型并联机构的工作空间分析则转角约束可表示为IOa，≤0max i：1，2，3 (12)≤ 06式中，n n 为安装球铰或虎克铰的基准矢量.为了最大限度地利用转角范围，应将n n 分别与初始位姿时的连杆向量重合。

5.1.3 杆间的相互干涉：对于 UPS-2RPS并联机构，由于支链 ，A， ，与定平台通过转动副连接，使得任意两杆在任意时刻都在同-平面内，且动平台和定平台半径和 选取适当就不会发生连杆之间的干涉，更不会发生连杆与平台之间的干涉。

5.2 数值实例设该三杆四自由度并联机床的尺度参数取值如下 J：rA 20cm， 60cm， 0.17r，2 i 50cm，2 200cm，0。 06 0.257r， -500cm ≤ ≤ 500cm，0≤ ≤ 500cm，-0.4r≤≤0.47r，-0.157r≤ ≤0.15-(i2，3)式中，为支链A。B 与定平台的夹角，y为支链A B (i2，3)与定平台的夹角，其余符号意义同上。

综合式(2)-(12)，借助 Matlab软件来实现该极限边界搜索算法 ，从而完成参考点为动平台的型心 O 的工作空间搜索，图5为搜索出的机构工作空间6 结 论(1)分析得 出含-串联输入支链 的 UPS-2RPS并联机构具有4个点位可控自由度，分别为沿z轴和 轴的移动，绕 轴和，轴的转动，故该机构是可实现两平移两转动的少自由度并联结构。

(2)建立了位置反解方程，充分考虑了并联机构结构约束条件，用边界搜索法在笛卡尔坐标下绘制出了工作空间的边界图，为该并联机构的合理设计和使用提供了理论基础。

(3)该分析方法具有普遍性，适用于构型相近的并联机构.因此，分析过程简明、通用，且物理意义明晰。