球面2-DOF冗余驱动并联机器人机构误差分析

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Error Analysis of Spherical 2-DOF Parallel Manipulatorwith Actuation Redundancy。

ZHANG Lijie LI Yongquan(Hebei Provincial Key Laboratory of Heavy Machinery Fluid Power Transmission and Control，Yanshan University，Qinhuangdao 066004)Abstract：Loop circuit incremental method is applied to error analysis of multi-loop parallel mechan ism，an d presents the loop circuitselection principle.Based on D-H parameter and characteristics of mechanism with actuation redundancy，the eror model ofspherical 2-DOF parallel maniIulator with actuation redundancy is established by virtue of loop circuit incremental method whichincludes both position error and posture eror.In the error model，mechanical structural parameter eror is considered，at the sametime，considering the deviation between axis ofeach revolutejoint and center ofsphere from the reason ofprocessing and assemblingetc.These make the eror model more close to actual project.Based on the error model，the reason ofjammed phenomenon whichspherical mechanism appears is further analyzed，and the mechanical eror is estim ated.Th is lays a theoretical foun dation forkinematics calibration research of the prototype。

Key words：2-DOF Spherical manipulator Actuation redun dancy Eror modeling D·H transformation matrix0 前言球面 2-DOF冗余驱动并联机构可作为球面上点的定位机构、球面雕刻机以及卫星 自动跟踪设备等J J，是-种很有应用前景的并联机构。其特点是各转动副轴线汇交于球心，以保证机构末端执行器输出精度，但由于机构相对复杂，转动副较多，各主要零部件加工、装配误差，会导致球面机构各转动副轴线和球心之间产生偏差，并且在实际加工装配中是不可避免的，为此，在样机加工装配时尽量国家自然科学基金(51275438)和河北省自然科学基金(E2011203214)资助项目。20120523收到初稿，20130122收到修改稿减小各转动副轴线和球心之间的偏差对保证该机构不失去球面机构特性至关重要。文献[4运用空间矢量链分析法建立了-种球面并联数控回转台的误差模型和相应的精度分析概率模型，研究了该机构的精度问题；文献5利用微分法建立了-种球面 3自由度并联结构拟人肩关节的几何误差模型；但文献4.5]中所采用的两种误差分析方法没有考虑球面机构各转动副轴线和球心之间的偏差，只得到了球面并联机构的姿态误差模型。环路增量法o 是根据机构的矢量形式的运动方程，将原始误差看作变量，通过微分，并以增量形式代替微分，利用矢量或矩阵的性质进行化简，从而得到的-种形式颇为简洁的机构误差方程或称之为机构增量方程，可求解机机 械 工 程 学 报 第49卷第7期、 s 。 相邻各连杆所在平面间夹角分别为 、.q 、日 。基于环路增量法，得到环路 I的封闭环V O殳 u O方程为5r98 9J (1)通过对式(1)进行时间变量微分可以得到(dTs5) 8 9 5(dT98) 9 5 8(dT59)0 (2)d 4 J5，8，9 (3)4S ]i8，9，5 c式中，4为i连杆在i系中的位姿误差[刚， ( )为的反对称矩阵 ， 为第i连杆相对于自身坐标系的微分转动，d 为第i连杆相对于 自身坐标系的微分平动。以下定义方法相同。

联立式(1)～(3)并整理可以得到5&r98 9rs5 8agr59A50 (5)在式(5)中各项对应元素之和为零，即等价于下列两个矢量方程 ： d 。0 十 5：式(6)即为环路 I误差模型，其中，各项元素均对应基坐标系下的位置误差和姿态误差，右下标对应i连杆，左上标对应基坐标系Ox5Yszs。

对于环路II，各连杆对应的圆心角分别为仅l、仅2、口3、 4、 。相邻各连杆所在平面间夹角分别为 5、 l、032、043、o54，其中，O15、o54为驱动关节运动参量，021、032、043为从动关节运动参量。由此可以得到环路II的封闭环方程为5 l 2r43 4I (7)通过对式(7)进行时间变量微分可以得到(d 5) 1 2 3 4 5(d 1)r32 3 45 1(dT32) 3 4 5 1 2(d 3) 45 2 3(d )0 (8)245 产 5 3(9)A d 2 2 32r ( )di、0 oJ. r (岛2)d3242-[0 0式中，42为环路II中3连杆在3系中的位姿误差[6，s(632)为晚2的反对称矩阵[7]， 2为第 3连杆相对于 自身坐标系的微分转动，d32为第 3连杆相对于自身坐标系的微分平动。

联立式(7)～(9)并整理得到rl 4 。 4： ， 440 (11)在式(11)中各项对应元素之和为零，即等价于下列两个矢量方程02)式(12)f为环路II误差模型，其中，各项元素均对应基坐标系下的位置误差和姿态误差，右下标对应i连杆，左上标对应基坐标系Ox Y5z 。

对于环路ⅡI，各连杆对应的圆心角分别为oc8、。[7、%、 、6c4、a 。相邻各连杆所在平面间夹角分别为 5、 8、067、036、 3、 4，其中，078，054为驱动关节运动参量，067、036、043为从动关节运动参量， 为连杆间夹角参量。基于环路增量法，可以得到环路ⅡI的封闭环方程为5 8 7 6五3 4I (13)通过对式(13)进行时间变量微分可以得到(d 5) 8 7 6 3 4 5(d 8) 7 6 3 45 (d ) 6 3 8 ，(d ) 3×4 5 8 7 6(d 3) 4 5 8 7 6 3×(d 4)0 (14)fd 4 i8，7，6，4，5 J5，8，7，3，. 1： 乏 (15)4 ]i8，76，45) 。6式中， 6为环路ⅡI中3连杆在3系中的位姿误差 们，(岛6)为岛6的反对称矩阵71，岛6为第 3连杆相对于自身坐标系的微分转动，d36为第 3连杆相对于自身坐标系的微分平动。

联立式(13)～(15)并整理得到4 5 8 5 8 7 % 46 3 4 4 40 (17)在式(17)中各项对应元素之和为零，即等价于下列两个矢量方程0 O I1 I1 锄 2 2 岛 心锄 ，、L O I /5 4 2 ， 1 lJ.f 、 、2013年 4月 张立杰等：球面 2-DOF冗余驱动并联机器人机构误差分析 l51 d s二 d 7二 ，/6： d ： d4： d 。0 c 8 365 。式(18)即为环路ⅡI误差模型，其中，各项元素均对应基坐标系下的位置误差和姿态误差，右下标对应f连杆，左上标对应基坐标系Oxsysz5。

3.2 机构误差模型的建立根据球面 2-DOF冗余驱动并联机构结构特点可知，从动关节运动参量误差共有 6个，考虑到连杆 所在平面与连杆 所在平面以及连杆 所在平面之间的 3个夹角不独立，之和为360。，故3个夹角误差也不独立，之和为零，因此 3个从动关节运动参量误差中只考虑两个独立的从动关节运动参量误差d 2和d ，共有 5个独立的从动关节运动参量误差d 。、d ：、d岛6、dO，3、d04 ；同时被动副轴向间隙量 d 2和d 6确定后，连杆 和连杆轴向间隙量也就随之确定，故只考虑被动副轴向间隙量dd3：和dd36，因此共有 5个独立的被动副轴向间隙量 、 ：、 、 ，、坛 ，。

通过上述分析，该机构具有的已知原始误差源包括：驱动关节运动参量误差d 、d 4、d ，驱动副轴向间隙量ddl5、dd54、dd78，连杆参数误差d (f1～9)，基座连杆间夹角误差d 、d 、d 9，基座连杆间轴向间隙量dds5、dd98、dd59，各转动副轴间距误差da ( 1～9)；包含 10个未知误差：从动关节运动参量误差d 1、d 、d 、d043、d 7，被动副轴向间隙量dd2，、dd32、dd3 、dd43、 7。

式(6)、(12)、(18)对应相加，可得到 2 62 3 5J 65J57 25J 850295 03(19) 6 d6 d72 d8 0根据冗余驱动机构特点， 和 轴重合，这决定了式(12)、(18)中存在如下关系f ：5 v1s：s 6 (20)由于 和 轴在基坐标系 j，5 中重合，故式(20)中位置和姿态决定的 6个方程中，只有 4个方程是独立的，可以求解d 。、dd2 、d06 和d 7这4个变量。

结合式(19)、(20)共包含 10个独立方程，可以求解 10个未知量。此即构成了球面 2-DOF冗余驱动并联机构的误差模型。

在实际的球面 2-DOF冗余驱动并联机构中，由于加工装配误差的存在，要严格保证7条转动副轴线精确地汇交于球心是不可能的，即各转动副应配有适当的轴向间隙量，现将dd21、dd32、dd36、dd43、d ，的显式函数关系式导出，即dd2l-S 43 dd54SO：5s 5s043dalda3SaSSO'5c 1S 3da2s 4SO：5C043×s Id c 5c 4cO，3da1s 4sasc 3×ddlc 4cO，3So43da5-s 4so'5cO，3Ca5×( lc 1cO，5c 4cO43da2Ca5S043s 1×da2)/(c 5 s 4cO，3co：5-c 5s043s 4s 5c 4C043) (21)dd43-(sa，sO5c 3 5-co'5c c 4×da3s 5cO43s 4da4-cO43ca5cO2lda2-c043CO：5co'5da5-COl5s 3c 4s lda2-co'5s 3c 4ddl5SOt5s 4sO43dalso'5s 4da3-c043cvtsda1so：5sO，5cO43×s lda2-c043ca：o'5c 4da4-co：，co'5×sO43c 4dd54SO：5CO'5s 4S 3da5SO：5×c 1s 4S 3da2sO，5da2s054S 3sO，5s 4CO：5S 3s 1da2sO，5s 4Ca5S 3×d 5)/(-c 5s 4c 3CO：5c 5S 3Sa5-s 5c 4c 3)dd67(-sassa：O67c 6dd54-cg6CO：5×ca：047d以4-c 6c067da7-c 6867dd78-c043da4-da3-c 6da6c 6s 8c ×c 7s d 4-c岛6s岛8ca'：o：：e67da5s 6c 8cassasc067da5-s 6c 8s5ca8×c 7da5)/sO6d 6-(s c s 7s 8d 4-s 7s ×CO：5So78dd5CO：8CO：5C067dd5c 7SO：5×(22)(23)sc d 54c047dd78-sO，3da4-s047da7(24)d 2-(-c 5 s 4d 5-SO：5c 4d口1-COl5so：sda4-so'5c 4dd54-co'5s 4s 1×d口2-so'5co：5cO4S 1da2-SO：5c 4cO，5-da5-COl5so：so 3da2-c岛5S54co：5dd54-so'5co：，cO，4ddl5-so：，co4c 1da2-sO，5c 4s 3da3-cO，5s 4S 3co：sda3)/(cO，5 s 4C 3CO：5-c 5S 3SO：5s 5c 4 c 3) (25)式 中，sO，sino'， c cos ， SO：isino：，C f COS f o152 机 械 工 程 学 报 第49卷第 7期为保证球面 2-DOF冗余驱动并联机构平稳运行，要求轴向间隙量ddu和轴间距误差 dao.之间应满足式(21)～(25)。否则，存在过小的轴向间隙量将会导致机构出现卡死现象，而存在过大的轴向间隙量又会导致机构精确度降低。

3.3 末端执行器位姿误差计算模型在图1中，2系 轴和6系 轴重合，此处将输出点P固联于第2连杆，位于2系 轴上，则第2连杆在2系中的原始位姿误差和第2连杆在基坐标系 Oxsy z 中的位姿误差之间关系为A 1A2 2 4 (26)式中， 为第2连杆在2系中原始位姿误差，由式(10)定义； 为第2连杆在基坐标系Oxsy，7，，中位姿误差，即： ) 1 (27) 0 0/I式中， ， 为第2连杆相对于基坐标系Oxsyz，的微分平动和微分转动，对应机构末端执行器的位置误差和姿态误差。

4 误差分析图 1所示球面2.DOF冗余驱动并联机构，柔构 参 数 为 Ot2 4 790。 ，a8a9120。， 90。。令OP与 轴夹角为 ，OP在Ox，y5平面上的投影与 轴正向的夹角为 。取运动特性[8-9]较好的工作空间0。≤ ≤30。，0。≤ ≤360。。

位置误差：由式(19)、(20)可知，机构末端执行器的位置误差仅与轴问距误差dai(f1～9)和驱动副轴向间隙量dd，5、dd，4、dd78以及基座连杆间轴向间隙量 dd85、dd98、dd，9有关。此处，驱动副(即电动机轴)位于基座上，其驱动副轴向间隙量dd， 、dd54、dd78以及基座连杆间轴向间隙量dd85、dd98、dd 由镗床加工精度保证，可忽略不计。

定义该机构末端执行器位置误差 I d2 (28)采用三维坐标测量机测量球面 2-DOF 冗余驱动并联机构样机实际尺寸，根据测量结果，选取轴间距误差da (f1～9)绝对值均为 0.1 rnnl，通过对其进行正负组合，得到共存在2 种情况，并在所选工作空间内，通过 Matlab软件，借助式(28)，计算了所有情况下机构末端执行器位置误差，得到了末端执行器位置误差分布规律，通过比较可知，表 1所示第 1组误差值引起末端执行器位置误差最校本文只以表 1所示两组误差值为例，分别绘制在所选取工作空间区域内末端执行器位置误差分布规律，如图3a、3b所示∩以得出结论，装配样机时，轴间距误差dai(f1～9)按表 l中第 l组误差情况进行分配最合理。

表 1 机构各转动副轴间距误差 rtlnlgEj咖趟l614l2l0O80604O 50.250.20O 150.100 喾- 0.5(b)第2组图 3 末端执行器位置误差分布规律姿态误差：由式(19)、(20)可知，机构末端执行器的姿态误差仅与连杆参数误差 d (f1～9)和驱动关节运动参量误差d015、d0，4和d078(由控制方法保证，此处忽略)以及基座连杆间夹角误差d08 、d098和d059(由镗床加工精度保证，此处忽略)有关。

根据文献[1O-1 l定义该机构末端执行器姿态误差 I (29)县II 糊 嘲犟2013年4月 张立杰等：球面2-DOF冗余驱动并联机器人机构误差分析 153采用三维坐标测量机测量球面 2.DOF冗余驱动并联机构样机实际尺寸，根据测量结果，选取连杆参数误差dai(f1～9)绝对值均为 0.1。，通过对其进行正负组合，得到共存在2 种情况，并在所选工作空间内，通过Matlab软件，借助式(29)，计算了所有情况下机构末端执行器姿态误差，得到了末端执行器姿态误差分布规律，通过比较可知，表 2所示第 1组误差值引起末端执行器姿态误差最校本文只以表 2所示两组误差值为例，分别绘制在所选取工作空间区域内末端执行器姿态误差分布规律，如图4a、4b所示∩以得出结论，装配样机时，连杆参数误差dai(f1～9)按表2中第 1组误差情况进行分配最合理。

表2 机构结构参数理论值与误差值 (。)吣 炼炼O.121OO80604O2O- 0.5(a)第1组(b)第2组图4 末端执行器姿态误差分布规律5 结论(1)将环路增量法应用于多环路并联机构的误差分析中，并提出了环路选取原则。

(2)基于D.H参数，采用环路增量法，建立了基于兼顾位置和姿态两类误差的球面 2-DOF冗余驱动并联机构误差模型。

(3)通过误差分析可知，球面 2-DOF冗余驱动并联机构末端执行器位置误差仅与驱动副轴向间隙量和轴间距误差有关，末端执行器姿态误差仅与结构参数误差和驱动关节运动参量误差有关。

(4)当被动副轴向间隙量满足式(21)--(25)时，可以确保球面 2-DOF冗余驱动并联机构样机平稳运行，避免出现卡死现象。