基于嵌套粒子群算法的平面机构尺度综合与构型优选

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Dimensional Synthesis and Optimal Type Selection of Planar M echanismsBased on Nested Particle Swarm OptimizationDUAN Xuyangl'2 WANG Hao1，2 ZHAO Yong1， CHEN Genliang ，(1.State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240；2.Shan ghai Key Laboratory of Digital Man ufacture for Thin-wailed Structures，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240)Abstract：Particle swal'ITI optimization(PSO)is used to study the dimensional synthesis and optimal pe selection of planarmechanisms.A nested PSO method is proposed，which Can search the dimension parameters with main PSO and search the poseparameters with sub PSO.The method is applied to the study of path generation problem by building the dimensional synthesismodel and optimal type selection model with the nested PSO algorithm.Th e validity and universality of the method are verified bytwo case studies，which are dimensional synthesis of planar four bar linkages and optimal type selection of planar multi-barmechanisms.The main advantage of this method lies on the capability to produce multiple optimized solutions，which providesbroader selection for the designer.With nested PSO method，the problem of dimensional synthesis，pose optimization an d optimaltype selection ofplan ar mechan isms Can be solved in a unifed approach。

Key words：Plan ar mechan isms Parameter optimization Particle swarlTl optimization Dimensional synthesis0 前言过去几十年，连杆机构理论研究取得了很大的进展[。尺度综合是机构综合的-个重要研究内容，主要分为刚体导引、函数生成和轨迹生成。传统上尺度综合主要有两种方法：图谱法和解析法。图谱法根据特征连杆曲线的数据库集，通过插值产生最国家 自然科学基金(51075259)和教育部新世纪优秀人才支持计划(NCET-10.0579)资助项目。20120704收到初稿，20130427收到修改稿优机构L24J，该方法使用简洁，但是精度很低，通用性差♀析法是另-种比较常用的方法p由J，但是这种方法通常限制给定点的数 目。

随着计算机的发展，优化方法和随机搜索算法越来越广泛地应用于平面机构的优化综合中，如梯度法、遗传算法、神经网络等。文献[7用梯度优化方法来解决平面机构轨迹综合问题。文献8-9研究了可调连杆机构的尺度综合问题，通过释放某-连杆的 1个自由度的方法，将综合问题转化为目标函数优化问题，然后利用遗传算法来进行求解。文献10]通过建立尺度与轨迹的神经网络模型，对平面机 械 工 程 学 报 第 49卷第 13期利用该 目标函数，可以通过优化方法将目标轨迹与实际轨鉴行轨迹匹配，进而计算出最佳的轨迹误差。

1.2 基于惩罚法的约束函数对于优化 目标式(1)的第二部分机构的约束函数，本文利用惩罚法建立有效的约束函数，从而将约束问题转化为无约束问题。

杆长约束在优化时由粒子群的粒子范围约束来满足，其余三个约束之和通过惩罚法来构成整个机构的约束函数值。 Wl C1(x)w2C2( )w3C3( ) (5)式中 C1--曲柄约束C'--压力角约束G--杆长比例约束- - 约束权值，i1，2，31.3 基于嵌套粒子群算法的优化方法基本粒子群算法的思想是随机初始化的-群粒子在每-代更新迭代中根据自身的历史最优位置和全局最优位置来调节自己的位置，最终找到最优解。其数学描述如下。

设粒子的总数为Ⅳ，每个粒子的维数(即解空间的 维 数 )为 D。第 f个 粒 子 的 位 置 表 示 为 (Zil zi：，，zD)，根据要求解问题所定义的适应值函数fitness：厂( )来衡量每个粒子的位置优劣；第i个粒子的飞行速度为 ( 1，vi2，，vto)；第f个粒子的历史最优位置 ( 。， ，， )；整个粒子群 所 搜 索 到 的 全 局 最 优 位 置 为 (eg·，egz，，ego)。在每次迭代中，每个粒子根据以下公式更新速度和位置。 k clr( - )c2 ( -z墨) (6)z ：z (7)式中，i1，2，，N，d1，2，，D，k是迭代次数，和 r2为0，1]之间的随机数，用来保持群体的多样性。C 和C：为学习因子，也称加速因子，使粒子具有自我总结和向优秀个体学习的能力。

为了改善基本粒子群算法的收敛性能，SHI等J钏在粒子速度公式中引入了惯性权重的概念。加上惯性因子的粒子群速度更新公式为V wV k cl(e/.- )c2 ( - ) (8)位置更新公式与基本粒子群算法的位置更新公式相同。惯性权重 W起着权衡局部最优能力和全局最优能力的作用。

本文在改进的粒子群算法基础上提出嵌套粒子群，利用粒子总群进行连杆尺寸优化搜索，利用粒子子群进行以机架位姿优化为目标的轨迹匹配搜索，从而形成了-个嵌套的粒子群。算法优化流程如图3所示。

l初始化粒子群l II I： I.。 Genl 嚣 l计算约季函数值lI计算实际轨迹IA 计毒误差 ：l 粒子更新 IGen Gen l否 l实际轨 迹 预处理 Il初始化 粒 子 子群 II S u bG1 I ·----I计算轨 迹 均 方差 Il 粒 子更新ISubGS ub G 1< 是I实际轨图3 算法优化流程粒子群参数设置采用文献[1 51中的-个方法，取c1c21.494，惯性权重W0.5rand0/2，对于非线性系统，该参数设置能够取得较好的结果。

当机构构型不同时，对不同构型同时进行优化搜索，以不同构型的适应值函数为评价准则，引入构型竞争策略，将得到的结果进行对比，从而实现以优化目标为准则的构型优眩1.4 优化模型的建立以图 1中机构为例，下面说明以轨迹生成为目标的尺度综合模型的建立过程。

尺度参数优化主要是确定机架的位置(xa， )、姿态 、各杆杆长[厶， ，厶，厶， ]以及末端杆姿态的最优配置。具体的优化问题可定义如下min Ffo ( ) ( )s.t. ∈ 山， 。 / in< 舶∈[Xmin， ] Xi∈X1，Xz)： (XA，Y ，O1)2013年 7月 段旭洋等：基于嵌套粒子群算法的平面机构尺度综合与构型优选 35X：(厶， ，厶，厶，L5， ) (9)( ) [ )- ( )-弓) J(10)( ) q( )w2c ( )w3C3(X2)(11)c 黑誓磊萎件 c·2cx： 蠹奄 萎件 c 3 篁葬 嘉束 c·4式中，厶为曲柄， 为压力角，厶 / 为最大杆长 比， i1，2，3为约 束权 值 ，为 常数且》 WE》 w3。

以轨迹生成为案例，设定 目标构型个数为 Ⅳ，每个构型的优化目标函数min 厂叮( ) ( ) (15)以各构型针对优化目标的最优函数值为构型的优劣评价准则，通过改变各构型粒子群的群体数目的多少和搜索能力的强弱，增加优秀构型的种群数 目，完成机构构型的优眩2 平面机构优化案例分析案例-分析了在限定构型下本文方法优化结果的精确性与多解性。案例二分析了本文方法在不同构型之间优选的应用。

对于目标轨迹，可以是-系列的点或者曲线方程，这里统-用 Ⅳ个离散点来代替目标轨迹。为不失-般性，本文统-将杆长和轨迹的量纲设为-。

最后的优化结果均包括算法迭代次数，计算时间，机构的最优机架位姿与最优杆长，以及优化目标函数值，即最优的轨迹误差。

2.1 案例-采用图1所示的曲柄摇杆机构实现图4所示的目标椭圆轨迹，椭圆的参数方程如下f工acos8xo- 1 p：6。 (16)取椭圆长轴和短轴分别为a1.5，b0.8；取Xo0，Yo0，如图4所示。

图4 目标轨迹将目标轨迹离散为Ⅳ个点，Ⅳ越大，轨迹越精确，计算量也越大，为了保证结果的精确性与适度的计算量，本文取N40。

设计变量 ( ，YA， ) X2(厶， ，厶，厶，厶， )变量范围厶， ，厶， ， ∈[0，10 ∈[0，2兀]∈[0，2x约 束 ： 压 力 角 ∈[15。，165。， 杆 长 比咖20，约束权值 500，w2100， 10。

主程序粒子群参数设置：种群数 P-50，最大迭代次数M30。

子程序粒子群参数设置：种群数 P，20，最大迭代次数M，30。

表 1 三次优化结果三次迭代过程的最优值变化如图5所示，可见迭代过程大都在第20代以内已经收敛到最优。

三次优化产生的最优机构如图6所示，包括优化杆长和机架位姿配置，所得机构完全满足所有约束条2013年7月 段旭洋等：基于嵌套粒子群算法的平面机构尺度综合与构型优选43-45。

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作者简介：段旭洋，男，1988年出生。主要研究方向为机构运动学与动力学。

E-mail：clf###sjtu.edu.cn王皓(通信作者)，男，1973年出生，博士，教授，博士研究生导师。主要研究方向为机构学与机器人学，机械系统动力学。