模态研究的数学分析与有限元分析的探讨

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大拉杆是组合臂架型门座起重机实现变幅的重要部件 ，属于细长结构件，容易发生振动 ，所 以进行模态分析是有必要 的.本文分别进行 了数学计算、有限元软件 ANSYS与 ADINA模态分析，旨在说明计算该类杆件模态的-些方法，通过对比分析结果 ，对这两款不同有 限元分析软件的计算特点进行总结，并讨论了网格密度对计算精度的影响。

大拉杆振动模型的质量、阻尼和弹簧都是连续分布的 ，属于连续系统(也称分布参数体系)，利用数学方法对其进行振型和频率的计算时，所得的控制方程为偏微分方程，虽然求解较难，但能得到精确的解口].研究 的大拉杆为某公 司设计 的样品，其参数如下：长度 22 000 mm、宽度 400 mm、高度 560 mm。

1 有限元分析面梁，建立模型图见图 1.弯曲振动时会发生上下、左右振动.有限元分析方法是进行物体静态或动态分析时常用的现代分析手段.首先，分别在ANSYS与 ADINA有限元软件中建立等截面梁的有限元模型，仅释放两端节点沿轴向转动的自由度，并设置相同的梁截面参数，以定义等分数 目方式划分网格，依据经验，将网格密度分为 5组不同情况进 行研究，分 别为 500，1 000，5 000，10 000，2O 000，分别 进行计算后获得分析结果 ，由振动理论知识可知 ，在结构的振动过程 中起主要作用的是低阶模态L2。]，故对每个方向的振动只取模态前 4阶进行对比分析研究。

图1 大拉杆弯曲振动模型示意图大拉杆上端与象鼻梁尾部铰接，下端与人字 1.1 ANSYS软件分析结果架顶部铰接，其内部加强筋主要影响其扭转变形， 在 ANSYS软件的 Preprocessor拈建立 5为便于分析，可将大拉杆简化为两端铰接的等截 组分析模型，并根据密度分组划分不同的网格密收稿日期：2013-04-18刘国瑞(1989-)：男，硕士生，主要究领域为现代物流技术与装备· 892 · 武汉理工大学学报 (交通科学与丁程版) 2Ol3年 第 37卷度 ，在 Solution拈 中选用 Block Lanczos法计算处理.在 General Postroc拈查看结果 ，不 同网格密度下的模型前 8阶 自振频率见表 1。

表 l 不同网格密度下模型前 8阶的 自振频率 Hz由表 1可见 ，同-阶次不同网格密度下得到的大拉杆 自振频率基本-致.在 General Postroc拈分析同-阶次不同网格密度下的振型 ，发现同阶次的振型是满足相 同函数关系的，因篇 幅有限，仅以网格密度为 5 000时的振型为例说明，各阶次的振动形状和方向见网 2。

a)l阶 ，上 下振动蟊b)2阶，左右振动瑚 。1 - c)3阶，上下振动 d)4阶，M -：左右振动计算处理后获得计算结果.在 Post-Processing模块查看分析结果 ，不 同网格 密度下 的模型前 8阶自振频率见表 2。

表 2 不 同网格密度下模型前 8阶的 自振频率 fIz从表 2可以看 出，同-阶次下不同网格密度得到的大拉杆 自振频率有-部分变化较 大.再对比分析 同-阶次下 的振型，同阶次的振型满足相同的函数关 系，同样 以网格密度 为 5 000时的振型为例 ，其形状和振动方向见图 3。

e)5D，上下振动 6阶，左 右振动g)7阶，左右振动 h)8阶，上下振动图 3 网格密度为 5 OOO的振 型图阶，左右振动 2 数学理论分析l≥ ～Ig)7阶 ，左 右振 动 h)8阶 ，上 振 动罔 2 网格密度为 5 000的振型图1.2 ADINA软件分析结果在 ADINA软件的Structures拈分别建立五组分析模型，同样根据密度分组划分不同的网格密度，运行求解器，选择 Lanczos iteration算法该大拉杆的长度与截面高度之 比约为 39，大于 l0，满足简单梁的理论 ”，即梁 中任-单元 的转动动能与横向位移动动能比较起来，可以忽略；梁的剪切变形势能与弯曲变形势能比较起来，可以忽略.因主要研究大拉杆 的无阻尼 自由振动 ，故只需建立弯曲梁自由振动的偏微分方程.若记梁长为 z，取振动的 t时刻距离为-处-梁单元并记为 75.2( ，)，受力情况如图4所示.分别建立该单元中沿 z方向的作用力方程和各 力对过 O点的第 4期 刘国瑞，等：模态研究的数学分析与有限元分析的探讨 ·893 ·轴的力矩方程，经过-系列化简，可得等截面大拉杆的运动微分方程为 。

EI - 。 ㈩ 式中：E为弹性模量；I为梁截面对 Y轴的惯性矩 ；p为质量密度；A为梁横截面的面积。

图 4 梁单兀受力不意 图令 w(x， )- (z)y( )，即自由振动是幅值按 y( )随时间变化，并沿着 (z)指定的形状运动的.经化简后 ，得到方程(1)的解，即固有振型函数 (z)和振动固有频率 叫的表达式。

(z)- A1 COS A2 sin甜 A3cosh asc A4 sinh (2)叫 摆 - ) (3) 叫 /式中：A ，A。，A。，A ，a均为未知常量，可根据梁端 的边界条件求得。

显然，发生上下振动时梁两端为铰支约束，应满足扰度和弯矩均为零的条件.左右振动时尚不易确定，先假定相当于两端固定约束，应满足扰度和转角分别为零的条件 ，通过与有 限元分析结果对比验证.分别将边界条件代入方程(2)，再利用公式 厂-叫/2 将 转化为厂，最终得到自振频率和振型函数见表 3。

表 3 理 论自振频 率与振型函数振 型函数 A2 sin( z) 、 sinh l-sin n l。。 an，Z J - -cosh a.1--cos a.13 结果分析3.1 频率与振型分析利用有限元分析软件进行固有模态分析时，计算结果中自振频率的排列次序是根据计算出的频率数值的大续行排列的，所以在进行振动研究时应将不同振动方向上的频率分另0对比.将表1、表 2的结果与表 3结果对比，用误差-100 ×(理论值-分析值)/理论值)，作为评判的指标，所得有限元计算频率与理论计算频率的对 比误差见 表 4～5。

表 4 ANSYS分 析频 率与理论频率对比误差表 5 ADINA分析频率与理论频率对 比误差阶次 垄堕(约束) 500 1000 5000 10000 200001(铰 支 ) 0.030 0.O30 -0.144 -2.362 -25.3932(固定) 0.048 0.048 0.077 0.504 0.9613(铰支) 0.1 71 0.171 0.164 0.024 -2.2304(固定) 0.143 0.143 0.143 0.195 0.4695(铰支) 0.404 0.404 0.402 0.383 -0.O416(固定) 0.293 0.293 0.293 0.299 0.3797(固定 ) 0.497 -4.212 0.497 0.498 0.5298(铰支) 0.727 -6.254 0.727 0.720 0.593从表 4可 以看 出，ANSYS分析 的频 率结果在同-阶次下基本-致；误差呈现出随阶次 的增加而增大的趋势，但都小于 7 9/6，可以接受.从表 5可以看 出，ADINA 分析 的频率在 同阶次下有-定波动.单元数为 500，5 000，10 000的 自振频率与理论值吻合较好；单元数为 1 000的白振频率除第 7，8阶误差较大外，其余阶次与理论值基本吻合；单元数为 20 000的自振频率除第 1阶误差较大外，其余阶次与理论值基本吻合。

根据表 4与表 5中频率的误差 ，同时也可以得出结论：大拉杆上下振动时两端为铰支约束，左右振动时两端为固定约束。

将图 2与图 3中有限元分析出的振型和表 3中理论振型函数对 比，可以发现，有限元分析结果都满足理论振型函数 ，只是在起振方 向上有所差别；另外，第 6阶(左右振动第 3阶)和第 7阶(左右振动第4阶)发生的振动的方向是相同的，这是因为有限元软件频率结果的排列次序是根据计算值的大小排列的，第 7阶频率比第 8阶(Jz下振动第 4阶)频率的值小，故在第 8阶的前面，振型是和频率对应的，所以第 6阶和第 7阶发生振动的· 894 · 武汉理工大学学报 (交通科 学与工程版) 2Ol3年 第 37卷方向相同。

3.2 ANSYS软件与 ADINA软件对比分析ANSYS软件与 ADINA软件 都属于强有力的有限元分析软件 ，在本次 的模态分 析中可 以发现，ANSYS软件对网格密度的要求不高，在-定密度范 围内可以得 到基本- 致 的结果 ；ADINA软件对网格密度的要求比较高，不合理的密度会导致分析结果 的错误 ，如网格密度为 20 000时第1阶的结果是不能接受 的，但是合理 的网格密度可以获得精 确 的计算 结果 ，如 网格 密度为 500，5 000与 10 000的计算结果。

4 结 束 语进行模态分析是-个有意义的科学研究，结构简单的物体可以通过数学分析方法获得比较准确的结果，但较复杂物体就会很难直接用数学 的方法进行分析，需要进行模型简化 ，如果模型简化的不合理就会导致分析结果的错误.使用有限元软件可以让我们获得比较理想的模态结果[5。].本文利用两款不 同的有 限元软件 ANSYS与 ADI-NA，分别进行了大拉杆的模态分析，并与数学分析结果进行了对 比.对 比发现 ，ANSYS软件对网格密度的要求较 ADINA软件低-些，但在合理的网格密度下 ，ADINA软件 的结果较精确.同时说明 ，对于有 限元分 析，网格密度并不是越密越好 ，所以在实际应用时可以通过 比较几组不同网格密度下的计算结果，取相差较小 的结果作为合适解.本文介绍的分析方法和结论对类似类型的模态分析具有-定参考价值。