大型数控龙门导轨磨床几何误差建模与基于可靠性理论的精度分配

第 49卷第 17期20 1 3 年 9 月机 械 工 程 学 报JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERINGVl01．49Sep.

NO．172 0 1 3DoI： 10．3901，JM E．2013．17．142大型数控龙门导轨磨床几何误差建模与基于可靠性理论的精度分配木余治民 刘子建 艾彦迪 熊 敏(湖南大学机械与运载工程学院 长沙 410082)摘要：针对大型数控龙门导轨磨床的拓扑结构，运用多体系统理论和坐标变换方法，构建包括 2l项参数的几何误差传递模型，并通过试验验证模型具有理想的预测精度。在几何误差传递模型的基础上建立满足磨床设计要求的加工精度可靠性极限状态函数。对磨床工作行程内的 25组位置进行误差取样，采用响应面法建立可靠性近似模型，分析每组工作位置加工精度的可靠性。以 25项可靠度的均值和最小值作为磨床加工精度性能的评判指标，针对最小可靠度对应的磨床工作位置，进行灵敏度分析，利用灵敏度对影响加工精度因素的重要度进行排序。根据分析结果，遵循精度均衡原则逐步优化误差变量的分布，直至可靠度的均值和最小值均满足设计要求。通过计算实例验证大型数控龙门导轨磨床精度优化分配的可行性。

关键词：误差传递模型 极限状态函数 响应面法 灵敏度分析 精度优化分配中图分类号：THI15Geometric Error M odel and Precision Distribution Based on ReliabilityTheory for Large CNC Gantry Guideway GrinderYU Zhimin LIU Z~ian AI Yandi XIONG Min(School of Mechanical and Vehicle Engineering，Hunan University,Changsha 4 1 0082)Abstract：According to the topology of large CNC gantry guideway grinder,a geometric error propagation model including 2 1parameters is established by the theory ofmulti-body system and coordinate tran sformation method，and the model is verified by teststhat it has ideal prediction accuracy．Limit state function of the reliability of machining accuracy to meet grinders designrequirements is built on the geometric eror propagation mode1．Reliability approximately model is established by response surfacemethod with eror samples from 25 sets of position of the grinder working stroke and the reliability of the machining accuracy ofeach group working position is analyzed．With the mean and minimum of 25 items of reliability as the index for judging themachining accuracy perform ance of grinders，the sensitvity analysis is obtained for the minimum reliability corresponding to thegrinder working locations．The importance degrees of the factors that afect machining accuracy are sorted by sensitivity．Accordingto the results of the an alysis，the distribution of eror variables is optimized gradualy by folowing the principle of accuracyproportionality until the mean and minimum of the reliability meet the design requirements．Th e optimization in precisiondistribution for large CNC gantry guideway grinder is verified feasible through num erical examples.

Key words：Eror propagation model Limit state function Response surface method Sensitivity analysisOptimization in precision distribution0 前言科学技术的进步促使数控机床朝着高速和高精度方向发展，其精度性能的设计与提高变得 日益国家自然科~ (51175161)、国家科技重大专~A(2011ZX04003．O1I1和国家自然科学基金(51305132)资助项目。20120928收到初稿，20130601收到修改稿重要。特别是大型数控导轨磨床，由于结构大、工作行程长、工作载荷重，要满足导轨高精度加工的要求更为困难。因此，分析影响大型数控导轨磨床加工精度的各个因素，建立反映磨床零部件精度与磨床加工精度映射关系的误差传递模型，合理分配磨床零部件的精度参数变得至关重要。

近年来，国内外学者针对数控机床精度设计的2013年9月 余治民等：大型数控龙门导轨磨床几何误差建模与基于可靠性理论的精度分配 143误差建模方法和可靠性理论开展了大量的研究，取得了一定的进展。如采用多体系统理论和矢量法进行误差建模。多体系统理论将机床视为一个多体系统，根据多体运动学原理和坐标变换方法描述机床零部件误差与加工精度问的关系【lJ。矢量法基于D．H变换矩阵建立机床的位姿方程，然后采用矩阵微分方法推导位姿误差的计算模型LzJ。机床加工精度可靠性研究的主要方法有均值点法、验算点法(First order reliability method，FORM)、映射变换法和 二 次 展 开 法 (Emprical second—order reliabilitymethod，ESORM)等p 4。，这些方法需要获得明确的精度极限状态函数表达式，计算过程复杂，不适合强非线性以及隐式状态函数类问题的求解。针对这一 问题，GAVIN等I 先后提出了用二次多项式来近似表达精度极限状态函数的响应面法，其基本原理是通过一定数量的试验样本，用不含交叉项的二次多项式拟合极限状态函数，并采用合理的迭代策略，保证多项式函数能够在可靠度意义上收敛于真实的精度极限状态函数的可靠度。

但上述研究都没有把机床误差建模方法与精度可靠性理论结合起来应用到机床加工精度分析与精度分配当中，并且没有考虑多因素作用下机床加工精度的可靠性。本文结合误差建模方法与精度可靠性理论，针对 MKW5230 3×160大型精密数控龙门导轨磨床的结构特征，建立了磨床整体的几何误差传递模型以及基于响应面法的加工精度可靠性近似模型，并进行可靠性灵敏度分析。根据分析结果，对磨床主要部件的精度进行分配，用于指导产品设计。该研究方法对解决其他类型机床的误差建模与精度分配问题同样具有参考价值。

1 MKW5230A／3x 160大型精密数控龙门导轨磨床几何误差建模MKW5230A／3x 160型导轨磨床采用龙门式布局，其长、宽、高尺寸分别为 22．0m、 7．8m、5．8m ，适用于重型机械、船舶、冶金装备的大件加工。

如图 1所示，磨床由双立柱、活动横梁、顶梁及床身组成封闭刚性框架结构，工作台沿床身导轨作纵向运动，活动横梁沿左右立柱导轨作升降运动；活动横梁导轨上装有一个垂直滑板，可沿活动横梁作横向运动；立式万能磨头安装在垂直滑板上，磨头可沿滑板上的导轨作垂向进给运动；由于磨头在垂直滑板上运动的行程较小，其几何误差对磨床加工精度影响很小，为降低建模难度，本文把垂直滑板与磨头之间的连接作为刚性连接看待。

多体系统理论的基本原理是用低序体阵列描述多体系统拓扑结构的关联，然后运用齐次坐标变换法，结合各体之间静止或运动状态下的位姿情况，完整地描述客观对象的实际位姿 J。由图 1可知，龙门磨床是一典型的多体系统，下面基于多体系统理论建立龙门导轨磨床几何误差传递模型。

活动图 1 数控龙门导轨磨床结构图1．1 基于休斯顿方法的磨床拓扑结构描述拓扑结构描述多体系统各体之间的连接关系，休斯顿方法的主要特点就是采用低序体阵列描述这种拓扑结构L7 J。在多体系统理论中，构成拓扑结构的单元称为体。针对任一多体系统，先采用如下法则标定每个体的序号：任选一个体作为参考体，然后沿远离参考体的方向按增长数列标定每个体的序号。图2即为以磨床床身为参考体进行标定的拓扑结构图。

图 2 磨床拓扑结构图0．磨床床身 1．床身工作台 2．工件 3．立柱4．活动横梁 5．垂直滑板 6．磨头图2中，除参考体床身外，每个体都有一个相邻的较低序号体。描述体与体关联关系的低序体阵列可由式(1)计算机 械 工 程 学 报 第49卷第 l7期I ( )=SI ( )= ( ( )I ( )=KI (0)=0式中 ——低序体算子n——阶数系i中的方向余弦矢量(1) ( Py ) ——坐标系 的坐标原点在坐标系i中的位置矢量R——旋转坐标变换P——平移坐标变换， — — 体的序号当 ( )=S时，称体 是体 的，z阶低序体，并称体 是体 的n阶高序体。

现根据式(1)求出图2各阶低序体号，并列出磨床低序体阵列表，如表 1所示。

表 1 磨床低序体阵列典型体 1 2 3 4 5 6( ) 1 2 3 4 5 6LI(j) 0 1 0 3 4 5L2(j) 0 0 0 0 3 4(_，) 0 0 0 0 0 3L4(，) 0 0 0 0 0 0高序体与相邻低序体间的位姿关系可以用位姿误差变换矩阵来描述，即×式中 ——高序体 与相邻低序体 间的位姿误差变换矩阵— — 体 中任意一点 在体 坐标系中的位置坐标— — 点 在体 坐标系中的位置坐标位姿误差变换矩阵遵循传递法则，如G是 的相邻低序体，两者间的位姿误差变换矩阵为 ，则点K在体G坐标系中的位置坐标为p K = × × (2)1．2 刚体的齐次坐标变换原理设 三维 空 间有任 意两个 右手 直角 坐标 系YiZ 和Ojxjyjzj，坐标系f到坐标系 的齐次变换矩阵为M o=lx mxly myl z mz0 Onx ptny pynz P#0 1(。1 。P]=( ]式中 ，m，Jl——坐标系J的 、Yi、Zi轴在坐标如果坐标变换过程中存在绕 、Yi、Zi三轴的微小转动增量 、 、6z和沿 、Yi、Zi三轴的微小位移增量 、 、△z，则坐标变换矩阵 Mo也会产生一增量 A Mo．，该增量即为变换矩阵的微分。其坐标变换矩阵为= (6x)× ( )× (6z)×P~s(tec) P ( )×pv(~z)x =l —&6z 10 O0 0鎏10 0— 01 0O l1 0O 1— 00 00 0 △l 0 0O 1 00 0 1O 00 O1 Az0 l1 00 1O O0 O×忽略 2阶、3阶微小量后得到= + )× ：其中令M nd=E + =6y 010 0 l1 00 l0 O01 00 l1 —6孑 6v6z 16x 1 AzO 0 0 11 —6z △)c6z 1 一一 fix 10 0 0 l×式中，朋 称为位姿误差变换矩阵。

1．3 导轨副的位姿误差变换矩阵机床运动副的位姿误差以及运动副间的垂直度误差都可以用位移和转动误差共 6项误差表示。

导轨副误差是磨床加工误差的主要来源，除了沿导轨运动方向的定位误差，其余 5自由度的微量位移

2013年9月 余治民等：大型数控龙门导轨磨床几何误差建模与基于可靠性理论的精度分配 147表2 几何误差传递模型性能指标注：残余误差=实测误差一模型预测误差。

由表 2可知，本文建立的误差传递模型具有比较理想的预测性能。

2 基于可靠性理论的精度分配现代机械精度设计理论表明，机床零部件的几何误差均是随机量，因此，由零部件几何误差导致的机床加工误差也是随机量。机床加工精度可靠度就是指机床加工误差落在机床允许最大加工误差范围内的概率。本文以可靠度作为评判磨床加工精度性能的依据，采用响应面法求解加工精度可靠度，结合可靠性灵敏度分析，合理地分配磨床零部件精度，以达到提高加工精度，降低生产成本的目的。

其设计流程如图9所示。

图9 精度分配流程图2．1 加工精度极限状态函数由于磨床在 、Y、z三个方向上的精度同等重要，因此本文以工件理论加工点 与磨头工作点的位置误差 的模 作为加工精度可靠性的评判指标s-IAel-设，为磨床允许的最大an-r误差，则磨床加工精度可靠性极限状态函数为H=I—S=I一 疆 由式(6)可知，在磨床的位置坐标 、Y、Z、= ( ) 、 =( 。 。) 已知的情况下，极限状态函数 是 2l项几何误差参数的函数，令= (U1,U2，?，U21)=(5Ax)， ( )， ( )，4( )，4( )，4( )，8x(Y)， ，)， ( )，4( )， ( )，4( )，6x(Z)，(z)，8z(z)，4(z)，4(z)，4(z)， ， ， )极限状态函数可写为H=I—S=g( ) (7)磨床是否可以保持其精度性能，在数学上可以由极限状态函数的值是否大于 0来决定，当日=g(【，)>0时表示磨床处于可靠状态，H=g )<0时表示磨床处于失效状态，H=g(∽ =0称为极限状态方程。

磨床加工精度可靠度可归结为计算极限状态函数在可靠域 =IU／g(U)>0I上的多重积分【 ，其表达式为(f)=1一 I ?I g( )l，r( )d(【，)n=Iu／。g(u)>oL式中 (f)— 加工精度可靠度，[g( )]——示性函数厂 )——2 1项几何误差变量的联合分布密度函数当g(U)>0时， g(【，)]：l；当g( )<0时，Ⅱg )]=0。

用极限状态函数日 的均值 ／ZH与方差 的比值 作为可靠性的度量指标，称为可靠度指标O"H Var[ g(U (8) 、／ )J 一
由于函数 包含 21项随机误差变量，由中心极限定理可知，函数 的值近似服从正态分布，因此可靠度 (f)可用 表示为(f)= ( ) (9)式中， 为标准正态分布函数。

2．2 响应面法求解加工精度可靠度由式(7)可知，加工精度可靠性极限状态函数的结构非常复杂，且高度非线性，很难运用常规的可148 机 械 工 程 学 报 第 49卷第 17期靠度计算方法(如一次二阶矩法等)进行求解。为此，本文采用二次多项式形式的响应面方法，结合可靠度 FORM 求解方法，构造可靠性极限状态函数的响应面近似模型，并求解精度可靠度，具体计算流程如下。 ，已知精度可靠性极限状态函数为H=g(【，)，首先选取不含交叉项的二次多项式为响应函数，建立极限状态函数的响应面近似模型 ^ A 21 21H=g( )=口。+∑ +∑ciu (10)i=l i=l式中，ao，6f，ci(i=1，2，?，21)为未知系数，共43项。

用 =(“ ：，“ j，?， 。)表示第k次抽样中心，利用如下插值技术选取 43组样本点”= =(“嚣}，“ ：，?，“ ： )己， =(“ ；， ：，?，“ +厂 ，?， ；。)i=1，2，?，21 J=i+1= (“ ；，“ ：，?， 一厂 ’ ，?， ： )i=1，2，?，2l J=21+f+1式中， 厂‘ 为插值系数 。 厂‘ )=1～3，且 厂‘ )=( ) ，第一次抽样中心 UM 1)取均值点 ，即= ( ，，／au，，?， ，)。

将 代入式(7)，求得g(c， ’)(J=1，2，?，43)，然后用最小二乘法求解 43项待定系数，拟合第k次迭代的响应面函数g( )。

运用 FORM 法求解第k次迭代的验算点u ( )和可靠度指标 )。求解过程如下所述。

(1)取均值点为初始验算点(0)=(“ ’(0)，u2 (0)，?， (0)=( 。， ，?， )(2)根据设计验算点，计算非正态随机变量的等效正态分布参数。

(3)计算第t次迭代后的可靠度指标‘ (f)= + f)( )]21(0g I
㈣ ∽l一 J ‘I
u ( ’(f)(ag l
㈨ ∽i(5)计算新的验算点uT(k)(f)= +fl‘ ’(t)o'u,ai f_72，?，21(6)计算l (f)一 ‘ (f—1)I< ’( 为给定精度，本文取0．001)，如条件满足则输出U ( )与 )，如不满足，则返回第 2步进行下一轮迭代，直至收敛为止。

计算l 一 (k-1)l< ( 为给定精度，本文取0．001)，如条件满足则输出 ‘ ，如不满足，则经线性插值得到新的抽样中心点【， “)，然后进行下一 轮迭代，直至收敛为止。其中U Mk)+( ㈨ )2．3 基于响应面法的可靠性灵敏度分析可靠度是由所有设计变量的分布类型、分布参数共同决定的，不同影响因素对可靠度的敏感程度有很大差异。可靠性灵敏度分析的目的就是为了确定各个设计变量的分布参数对可靠度的敏感程度。

其方法是根据极限状态函数的响应面近似模型(见式(10))，对模型包含的设计变量的均值和方差求偏导，得到设计变量的均值和方差对可靠度的灵敏度 。Ⅲ】。计算过程如下。

(1)由式(1O)可知，极限状态函数的均值和方差分别为￡=E( )= +∑ +∑ ( +吒)(11)i=l i=l ^ 2l 2l 21= J[)(H)=∑ +4∑ 吒+4∑(12)(2)由式(11)、(12)推导极限状态函数的均值和方差对设计变量 =(“ ，U ，?，U )分布参数的偏导= hi+2cd2~
, a.

3u： 2CiO"uaOct瓦H=(4 cf《+8饥 吒)／2H
nd ‘ ‘ ‘OctH=(2biG, +8 ci2 2 +86,c{ ／20"^H d ‘ ‘‘ ‘‘式中，i=1，2，?，21。

(13)2013年9月 余治民等：大型数控龙门导轨磨床几何误差建模与基于可靠性理论的精度分配 149(3)设计变量 =( ，U：，?，U 。)分布参数对加工精度可靠度 R(f)的灵敏度为由式(8)、(9)可知．
a‘。。 。。。。。 。。。。一 0or(14)百
oR(t)： ：一 eXp[_一p2】
2 ? 一一— = ^Ul一一 I 88 a8 、J2兀 I L J
罟 ：= a ／ =一 a I 1将式(11)～(13)、(15)代入式(14)中，可求得 21项几何误差变量的分布参数对加工精度可靠度的灵敏度。

2．4 基于可靠性理论的磨床精度分配MKw5230 3×160大型精密数控龙门导轨磨床的设计要求：磨床在整个工作行程内，位置误差小于 0．03 n'li1的可靠度最小值不低于 95％，可靠度均值不低于97％。

一 般情况下机床零件的几何误差都十分接近于正态分布【J引，因此本文将磨床的 2l项几何误差均看作正态分布，几何误差的方差 与公差 间的关系为T：60"。21项几何误差中4( )、 ( )、4(z)由数控系统的控制精度决定，其他 18项误差由磨床部件的几何公差及装配公差决定，所有几何误差的均值均取 0。

根据现有一般数控设备能达到的精度和中华人 民共和 国龙 门导轨磨床 精度检 测 国家标 准(GB／T5288—2007／IS04703：2001)，初定 21项几何误差的方差，如表 3所示。如图 1所示，惯性坐标系设置在工作台表面的中心位置，磨床综合误差传递模型式(6)中 =( 。) 、 =个 ( Jr为定值，由磨床结构决定；磨床工作过程中，床身导轨虽然移动，但理论加工点在方向上的坐标并不改变，也为定值；Y、z为磨头沿Y、z方向运动的位移量。采取正交取样法，在磨头Y方向上一1 500~1 500 ml'l、z方向上 6003 000 n'fin的行程范围内分别等间距取 5个点，得到25组磨头位置坐标。采用上述可靠度响应面计算方法，运用Matlab软件编写计算程序，分别计算初始条件下磨头 25组位置坐标处的加工精度可靠度，得到 25项可靠度值，如表4所示。

表 3 2l项几何误差方差及编号由表 4可知，25项可靠度均值为 91．68％，最小值为 89．27％，均不满足设计要求。选取最小可靠度值对应的磨头工作位置，运用基于响应面法的可靠性灵敏度分析方法，计算各项综合几何误差方差的灵敏度(由于均值恒取 0，因此不考虑均值的灵敏度)。

图 1O～14为各次改进前 21项几何误差方差的灵敏度，其横坐标对应的误差变量见表 3。由图 10可以看出，第一次改进前，误差变量 、 、 (z)、(J，)、 ( )、 ( )、占 、 (z)的灵敏度较高，其中 的灵敏度最高，表明在此工作位置误差变量对加工精度可靠度的影响最大。

根据实际加工条件，第一次改进精度，将误差变量 的方差降低为 0．025／3 000 mm。重新计算磨头在25组位置坐标处的加工精度可靠度，得到可靠度均值为 93．36％，最小值为 91．47％，相比初始值对应的均值和最小值虽有明显提升，但仍不能满足设计要求。

由图 10～14可知，每次改进后各个误差变量的灵敏度都是变化的。根据灵敏度分析结果，并遵循精度均衡原则(优先调整前面没有调整过的误差变量)，选取灵敏度较大的一个误差变量作为下一步调整的对象。

竺望厂 l1一厂 一 ／ 一O^ 一=
2013年9月 余治民等：大型数控龙门导轨磨床几何误差建模与基于可靠性理论的精度分配 151用响应面法分别求解其加工精度可靠度，以可靠度的均值和最小值作为优化设计指标，更加全面地反映了综合几何误差及其分布对磨床整体加工精度性能的影响。

(3)通过可靠性灵敏度分析，量化了各误差变量对磨床加工精度可靠度的影响程度，建立了优化获取这些变量的方法，为高效、合理地分配精度参数，更好地进行大型龙门导轨磨床的精度设计提供了理论依据和实施工具。

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作者简介：余治民，男，1984年出生，博士研究生。主要研究方向为复杂装备精度链设计方法。

E-mail．yzm19840416l###yahoo．corn刘子建，男，1953年出生，博士，教授，博士研究生导师。主要研究方向为机械设计与理论。

E—mail：zijianliu###lmu．edu．cn艾彦迪，男，1982年出生，博士，讲师。主要研究方向为CAD／CAE建模理论与实现技术。

E—mail：superayd###126．corn熊敏，男，1988年出生 主要研究方向为复杂装备精度链设计方法。

E-mail：education###lmu．edu．crl