埃特金法在结构优化中的改进

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中，常常需要求解非线性方程或方程组。迭代方法是求解非线性方程或方程组的主要-类方法，该类方法种类很多，如直接迭代步长因子法、牛顿法、埃特金法(Aitken Method)等。埃特金法是根据 2次直接迭代的 2个映射点将原非线性函数进行线性化处理，并以该线性近似函数的解作为新的近似解，完成-次迭代，经如此反复迭代，直至收敛 。该方法在原理上虽 与牛顿迭代法相似，但无需像牛顿法那样必须计算原非线性函数的雅克比矩阵及其逆阵，且迭代求解计算 自动完成，计算效率高，适用范围广。麻凯l1 提出了只计算结构优化函数的-阶导数项来计算海森矩阵逆的方法(DFP方法)，省去计算函数的二阶导数矩阵和求矩阵逆的过程 。陈树勋2]、景旭3 将-元非线性方程的埃特金加速法应用到 r/维空间，求解 多元非线性方程组，取得了良好的应用效果。陈树勋 ]基于拟埃特金法提出了-种实用高效的、改进的埃特金法。赵昕l5]、陈开颜 将埃特金法分别应用于非线性系统参数识别和矿井风温预测中，收到了良好的效果-卓睿 提出利用埃特金方法加速迭代运算在复平面上作分形图的收稿日期：2012 06 12方法。Ramani[8 提出 了基于埃特 金加速法 的神经网络方法，用以解决高维、多参数、非线性优化问题。熊世春g 对埃特金加速法的收敛性进行了论证 。

笔者在前人研究的基础上，对原埃特金法作了进-步改进，即在埃特金法迭代运算过程中，充分利用了前面所得到的有关解分量的信息，即时在后续的迭代 中以最新的解分量去代替旧的解分量参与修正计算，明显提高了计算效率。笔者以非线性方程组和结构优化问题为算例，通过对比不同求解方法所得结果，证实了对埃特金方法的改进是可行和有效的。

1 基于埃特金法的非线性方程组解法求解-元非线性方程的埃特金算法的原理如下 ：设-元非线性方程 为 z-厂(32)，埃特金迭代格式如下：c - ㈩- [ 二ff(x )]-2f(x )z(1)埃特金法是根据 2次直接迭代的 2个映射点将原非线性 函数进行线性 化处理 ，以该线性近似函数的解作为新的设计点，完成-次迭代，第 4期 唐迎春等 .埃特金法在结构优化中的改进 35经反复迭代，直至收敛。

根据求解-元非线性方程的埃特金法，可以构造出求解多变量非线性方程组的拟埃特金法。设多元非线性方程组 X-F(X)由以下个方程构成 ：l-f(32l，z2，2f2( 1，lz2，37 -f (z1，322，(2)将式(2)以向量函数表示为 ：f ] f (x)1x -：F(x) (3) J lf(x)J则拟埃特金算法的迭代求解公式为：xk-1)- - 二 ～ -f EF(x )]-2， (X )z(i- 1，2， ， ) (4)拟埃特金算法的每次迭代需要对多元非线性函数的 2次映射计算，对应于结构优化设计就需要进行 2次结构重分析。针对此情况，文献[3]中构造 1种新的线性化迭代算法，其算法的线性化虽需要 2个映射点，但其中之-可取为前-次迭代得到的映射点，每次迭代就只需寻找-个新的映射点，计算-次函数值即可。

将其应用于结构优化设计的求解，只需进行-次结构再分析计算，在保持原埃特金法 自动迭代优点的前提下，提高了结构优化迭代计算的效率。

对-元非线性方程 z-，(z)和多元非线性方程组(3)，文献[31中给出的改进的埃特金算法的迭代计算格式分别为：37(女1) Z - z㈨ f(x )-z f(x - ) ，-、厂(z )- 厂( ( - ) z( - ( ) 、u～( 1) - "厂 (X )-z f (X娃 )-厂 (X )-f (X娃 )z -z(i- 1，2， ， ) (6)2 对埃特金方法的进-步改进在利用改进的埃特金方法，即式(6)求解多元非线性方程组时，迭代的每-步计算过程中是利 用 X 和 X 的全 部 分 量 来 计 算X娃 。若所构造的迭代计算格式满足收敛性条件，且在利用该格式计算第 i个分量z 之前 ，已算出了前(i-1)个解分量 的最新值 ，即：， ! ，，z ，显然，如果在后续的迭代计算过程中，即时以这些最新的解分量去代替旧的解分量 ，32l，，z ，同时，再利用 ，-zl，， 去代替更旧的解分量 ， ， ，z ，计算收敛效果无疑将会更好-些。具体过程如下：现任给初始解向量 X。-(z ，z ，，z：)，代人方程组 xF(X)中，得到第-次迭代的解向量 X ：( ， ， ， )为- f (z ，-z ， ，37 )1- fz(z ，z!，，z：- ，z l (7) lz -f (z ， !，，z 1，z )J其他各次迭代同上操作，即在迭代过程中，对 X 和x 的分量将根据迭代进程实时更新，即令：F (X )f (321 ，z ，， krl，z ，， )(8)F (X - )-f (z ，z，，-z l，z - ，，-zk： )(9)则更新后的迭代格式为：- ： 二 ： !二- F (X )- F (X ) z ”- z(10)利用式(10)进行迭代计算，直到迭代收敛。

如此以来，迭代周期将得到进-步缩短，效率也得到提高。

3 算例算例 1：求解非线性方程组r2x。- Y - 1- 0l -Y-4-0j厂 ，Y -z-2z。x-Y - (1) < I l IJI-厂2(z， )-y-xy。-4对此非线性方程组分别利用牛顿法、文献[3]改进的埃特金方法和笔者改进的埃特金方法进行求解，结果见表 1。

算例 2：求解非线性方程组- z- sin y- 50(12) Iy- COS z 5y- 70对此非线性方程组分别利用牛顿法、文献[3]改进的埃特金方法和笔者改进的埃特金法求解，结果如表 2所示。

36 北京石油化工学院学报 2012年第 2O卷算例 3：笔者改进的埃特金算法在 10杆平面桁架结构优化 中的应用 。

6节点 10杆平面桁架结构如图 1所示，杆材料的弹性模量 E-7×10 N/m ；质量密度p-2.8×10。kg/m。；许用拉压应力均为[ ]-1.8×10。N/m ；各杆初始截面积为 A。-1.3×10 m ；各杆横截面积下限为 A i -0.6×10cm ；节点 1～节点 4在 和Y方向上的许用位移均为[ ]-±5 cm；载荷 P-4.5×10 N；杆长 L-9.144 m。以每根杆的截面积为-个设计变量，求满足强度和刚度要求的结构最轻重量设计。

图 1 1o杆平面桁架结构以重量最携为目标函数，以节点位移、杆单元应力不超过允许值及杆截面面积不低于下限值为约束条件，建立如下优化模型：Find X-[A ，A2，，AN]-r 1，z2，，zN]T∈RNl0min w(x)-∑ Az- lS.t. f (X)- l (x)/5 l-1≤ 0g (x)-l (x)/1.8×10。l-1≤0X ≤ X≤ Xi- 1，2， ，N ；N - 10(13)对该优化模型，文献[3]中基于导重优化准则获得 了相应的非线性方程组 ，利用该文献改进的埃特金算法经过 8次迭代、9次结构重分析 ，得到优化结果。而利用笔者所改进 的埃特金方法进行迭代求解，只需要 5次迭代、6次结构重分析 即可得到相同的优化结果 。通过文献[3]和笔者所述的2种方法优化后，桁架结构重量从38 799 N下降到25 432 N，得到了较好 的优化效果，且收敛快，运算稳定。2种方法所得的优化设计结果见表 3。

表 3 10杆平面桁架结构优化结果 (m z)杆截面 Al A2 A3 A4 A 5 A6 A 7 A8 A9 Al。

结果 0.024 743 0.000 060 0.024 138 0.008 268 0.000 060 0.000 060 0.004 490 0.001 312 0.000 204 0.011 3624 结论(1)结合拟埃特金法对埃特金算法进行了进-步改进，计算过程无需人为干预，迭代过程自动完成。该方法是线性化迭代算法，每次迭代只需寻找-个新的映射点，计算-次函数值；将其用于结构优化问题的求解，只需进行-次结构再分析计算，同时避免了对方程求导来计算雅克比矩阵，降低了计算难度。

(2)该方法与其他方法所求结果相同，说明对埃特金算法的改进是正确、有效的。算例的运算过程显示出该方法缩短了迭代周期，提高了运算效率。特别是在算例 1中，牛顿法对初始点的选取是有限制的，而改进的埃特金算法第 4期 唐迎春等 .埃特金法在结构优化中的改进 37对初始点的选取要求不是很严格。