退化系统状态维修决策与维修活动建模

状态维修决策已成为当前维修领域研究热点，决策是维修工作的最后阶段 ，也足企业化费巨额投资进行状态监测的最终 日的。随着状念监测技术的发展，基于状态监测的维修决策得到学者们的广泛关沣 ，并 且提出大鼍维修决策模 ，按照对系统退化状态的描述 ，维修决策模型可分为离散模型[1 和连续模型 ]。离散模型用-些有限状态划分系统实际运行状态 ，对系统运行过程建模；连续模 用连续的分布函数 ，对系统运行退化过程进行建模。决策就是在此基础上研究费用最序可用度最大的优化问题 j，在描述系统状态上，连续模型更加精确。从维修效果角度看 ，维修决策模型可分为完全维修和不完全维修模型，本文用系统维修后的状态值表示维修效果。早期维修决策模型大收稿 日期 ：201 1-11-09；修 回 日期 ：2012-09-18基金项目 L海市重点学科开放课题(J50103)；空军工程大学科研创新基金(XS1101020)资助课题第 1期 葛协等：退化系统状态维修决策与维修活动建模多假设维修后系统状态恢复如新 ，研究和实践表明，随着系统运行和逐渐老化 ，维修是不可能将系统修复如新 的，不完全维修模型更加符合工程实际 ]。

维修活动对决策中退化过程模 型参数、维修效果和时间等的影响称为维修活动影 响，而这些影 响的不确定性符合实际与否 ，直接影响维修决策精确性，甚至可能导致维修决策结果的错误。尽管维修决策模 型不断发展，但依然存在以下问题 ：(1)无论离散或连续模型，大都仅仅依赖状态监测数据进行决策建模 ，只有文献[1]提出用经验数据对状态转移概率进行估计，文献[2]提出用系统实际技术状态信息来划分离散模型的状态转移概率。实质上状态监测数据只是反映系统退化的-方面信息，仅以此做决策是不充分的；(2)现有不完全维修决策模型对维修效果和维修 时间等不确定因素估算方面的研究不够深入。目前已经提出了很多不完全维修模型 ，其中最著名的就是 Brown和 Proschan的模型，它认为维修以 的概率使系统完好如初 ，以(1-声)的概率保持系统状态不变(即最小维修) 。]。另-个重要的模型是虚拟寿命模型 ，它认为维修的效果是系统虚拟寿命的减函数。这些模型对维修效果 的研究 ，都不是从统计角度来解决不完全维修问题 ，没有对维修效果进行估计。文献[12]认 为维修的效果是使故障率减少 ，提出用记忆为 l的算术强度减少模型(arithemetic reduction ofintensity model with memory one，ARI)估计维修 效率。

文献[5]和文献[8]认为维修效果是故障限内的-个随机变量，用几何分布等函数描述其概率分布，然后估计模型参数，从而得到维修后 系统状态。文献[4]认为维修效果应看做是预防维修阈值的-个几何分布函数，但该函数的参数是由人为确定的，从而得到的维修效果也是确定的；对维修时间的确定，通常维修决策模型巾往往忽略或者设定其为-个常值。文献[4]和文献[5]提 出用几何分布来描述维修 时间，然后通过求期望得到-·个维修时间量 ，因为分布函数参数是预先设置好的，冈此也相当于维修时间是-个人为设定的常数，依然不能精确反映实际情况。

由此可见 ，现有维修决策研究 中对维修活动影响分析还不够充分，本文从历史维修信息出发，对这些不确定因素影响下的连续退化系统维修决策问题进行研究 。首先，根据其安全性、任务性和严重经济性后果提出两个通用决策模型，并建立系统状态 gamma退化过程；然后 ，基于历史维修信息对决策模型中平均维修费用和平均可用度进行确定和参数估 ，认为维修效果和维修时间实质上是 由于维修前系统运行状态(也就是预防维修阈值)与维修实施次数的不同而引起的，依此分别建立了维修效 果和维修时间分布模型，并研究人为因素对维修效果影响，用历史维修记录信息对这两个分布进行参数估计和验证 ；最后，用某控制系统实际数据对本文模型进行验证，通过实例分析说明了本文模型的有效性和实用性 。

1 系统建模1.1 系统假设现实中，很多装备 因为老化和累积磨损导致性能逐渐退化直至发生故障，在状态 临测上主要表现为振动、压力、温度等状态值的变化 。用 x，表示状态监测序列退化，系统投入使用时状态如新(即 X。-0)，随着时间开始退化 。根据-般系统实际运行情况 ，文中对研究对象做如下假设：假设 1 系统为服从单-退化过程的单单元系统，暂不考虑多系统关联和多退化模式的情形；假设 2 监测时刻预先确定，t 表示没备 白投入运行以来第 i个临测时刻，且监测不影响机器正常运行。航空装备维修保障中大多是定期或连续监测 ，假设 t 预先确定符合实际；假设 3 系统的状态 监测是完全的，能够真实地反映系统实际运行状态；假设 4 系统监测状态对应的故障阂值 F已经明确；假设 5 维修活动分为三种 ：不采取任何维修 顶措施；预防维修；故障后替换。屑虑备件延迟影响。

1.2 维修决策模型用 M表示系统缺陷状态，根据系统假设，维修策略有以下 4种 ：(1)退化状态满足 x

维修决策 通常根 据平 均费 用或 町用 度进行 优化决策口 ，本文分别建立退化系统的平均维修费用 EC和平均可用度 EA公式 ，对不同研究对象 ，根据其安全性 、任务性和严重经济性后果，构建以下两个决策模 ：决策模型 1 对于安全性和任务性后果严重的研究对象 ，将平均可用度作为 目标函数 ，得到max EAS.t.EC≤ EC。 (1)式中，E(.J表示最大经济承受能力 ，也 丌以根据实际情况不进行经济性约束 ，只追求可用度最大，此时 EC。-oo。

决策模型 2 对于采 r余度技术 ，或者安全性和任务性后果不太严重的研究对象 ，可将平均维修费用作为 目标函数，得到min ECS.t.EA ≥ EA 0，0< EA o< 1 (2)式中，EA。表示最低可用度要求。

系统工程与电子技术 第 35卷根据研究对象特点选择-个模型，然后进行优化求解 ，即可获得最佳预防维修阈值 ，从而优化维修活动。

对于研究对象的维修过程来说，维修费用包括三方面：预防维修费用 C ；故障替换费用 C 监测费用 C 。通常有Cf> Cp> C 。

平均维修费用 EC是监测、预防维修和替换的费用总和除以系统总的运行时问，平均 可用度 EA是系统正常工作时间除以系统直到故障系统总的运行时间，可表示为E( c m p )E( T ∑il D Q)Ⅳ Ⅳ iEf∑ D 4- ∑P R4- ，1- l-------- -------- (3)N N 、 ，E(T E -DMiQ)E(S T )4-E(Tf)- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E( T T，∑i D Q) (4)式中，P 为第( -1)次( -o时表示从系统开始运行新状态开始)维修后与第 i次维修前之间总的监测次数；P .为设备最后-次维修后直到故障替换总的监测次数；N 为系统直到故障整个生命周期总维修次数。

C 为第i次预防维修费用；c 为预防维修单位 时间费用率；D 为第i次维修所需时间，则 C -c ×D 。预防维修费用的定义表明了实际中预防维修费用跟维修所用时间的关系，而维修所用时问随着维修难度和维修次数增加。

维修难度体现在维修活动中就是预防维修 阈值 M，M 越高，系统越接近故障，维修难度将变大 ，引起维修时间增加 ；同时也跟维修次数相关，维修次数越多，说明设备越老化，状态欠佳 ，维修时间也将增加，这里假设维修时间分布为D -D(M， )，只要 DM，-D(M，i)是递增函数即可(可以是线性或者任意符合系统特点的分布函数)。后面将单独探讨通过历史维修信息来确定维修时间的方法。

C，为替换费用，它 由两部分组成 ，-是更换设备的基本费用 R，另-个是和替换引起的停机时间 Q成立 比例的费用。c，为单位替换时间费用率，则 Cj RQf，。

T 为第(i-1)次维修后直到第 i次维修前系统正常运行时间，称为第 i次维修发生前系统退化时间；T，为最后- 次维修直到故障的系统运行时间。

求解维修决策模型的关键是对 T 、Ts、P 、D 及 Q进行计算与估计。当已知每次维修后系统状态时，T 、T，及P 可在系统退化模型基础上进行估计 ；D 和Q跟维修活动相关 ，需要根据历史维修信息进行估计 ；每次维修后系统状态是 由维修活动中维修效果决定的，因此维修效果对整个模型影响很关键。

1.3 退化过程建模上述状态维修决策模型优化首先需要得到研究对象状态退化过程模型。标准的 gamma过程具有平稳 、独立和非负的增量 ，单位时间增量服从 gamma分布，因其具有很强的普遍性，适用于各种形式的分布，能用来模拟典型的早期失效 、偶发失效和耗损失效等不同的失效分布 ，在系统退化过程建模中表现 出很好 的效果 ，本文用该分布对系统退化过程进行建模。

gamma函数形式为r(z)-j。4，u1 e-ud，z>o )其概率分布函数为p( )-高 卢 e 。) ( )式中，a>0为形状参数；p>o为尺度参数。函数 1 表示在 z∈(0，。。)为 1，否则为 0。

系统在无维修和替换活动干预下，其状态监测退化量X 的概率密度函数为f (z)- △ (z)。设 C是系统退化黾 x 的-个阈值 ，T为系统从新状态退化到该 闽值 的时间，即 T-inf(t>O：

∑Ax，- ∑∑ -J； l(9)∑At ((1n(Ax，)- ( ))-0 (1o)J- 1已知状态监测序列时，计算状态增量和监测时间增量(Ax ，At，)，用数值计算方法求解式(10)，即可确定 gamma分布的两个参数 ，得到系统状态退化模 型。对于等 间隔监测，求解还 叮以简化。

第 1期 葛协等 ：退化系统状态维修决策与维修活动建模2 决策模型量化与维修活动分析下面首先对决策模型中的 、Tj、P 和 Q进行计算 ，然后对维修效果和维修时间单独建模 ，根据历史维修信息估计模型参数 。

2.1 模型参数估计令 y 为第i次预防维修后的系统状态，则根据式(7)可得 ，r 、Ti( ≠1)和 T，的期望分别为EET，EEP )]fop ∽出- xo!i e.p，de&(11)- f fM E EET，3- EEPt，。)]J。j Y le 出出(12)E[ ]- E ㈤ ]- e～ 出 )式中，y r.为第( -1)次预防维修后系统状态；Y 为最后-次预防维修后系统状态。

确定监测次数 P 的示意过程如图 1所示，对监测时问序列 At 按照预防维修次数进行划分 ，得到第(i-1)次预防维修后至第 i次预防维修之 间监测 时间序列为 △f (i-1，PI2，，N； -1，2，)，那 么 P 满 足 At ≤ E(T )

l I I I I△ 1 △ Ate，△ 1)图 1 监测次数确定示意图对特定系统，替换停机时间Q是常数，可根据历史维修记录统计得到N∑QQ- (14)式 中，N 为历史维修记录中替换发生的次数；Q 为该系统每次替换的停机时间。

令 Y～ -0，可将式 (11)与式 (12)统-表示 ，根 据式(11)～式(14)确定模型中的变量后 。式(3)和式(4)改写为∑QEC (M cm P R岢 Cf)÷c塞肌 ·。 础 塞 o Y卫P(at) 础 ) (15)c莩 .p (at)x e 础c塞o YN， e 础 ，÷础 喜 j。 edxdt) 6)2.2 维修效 果模型分 析维修效果随着维修程度的不同而变化 ，维修程度的好坏由系统维修时所处状态、维修进行的次数及维修人员个人能力所决定。鉴于几何分布的特征 ，这里用调整后的几何分布对维修效果进行建模 ，构建包含人为因素影 响下的维修效果模型。

(1)不考虑人为因素的维修效果模型维修前系统状态达到预防维修阈值 M，y 为第 i次维 -- V 修后系统状态，定义第 i次维修效果因子为 ≠( )- 而 ，Iv/表示维修后系统状态相对改进百分 比，则预防维修后下-监测前 ，系统状态为(1-乒( ))M。按常理，维修效果是维修次数的函数，随着维修次数增加，维修效果将越来越差，直到维修再也不能起到作用，因此维修效果因子是维修次数的减函数，用递减的几何分布来描述维修效果因子的变化，其关系为( )- (1- exp(- a - 6))，i- 1，2， ，N (17)式中，i为维修次数；n和b为两个未知参数 。根据历史维修记录信息中维修后系统监测状态变化数据 y ，得到维修效果数据序列 ，计算第 i次实际维修效果因素 ( )-M-Y /M。用最小二乘拟合方法可以得到这两个参数 ，从而得到维修效果模型为Y，- e M ，i- 1，2， ，N (18)(2)考虑人为因素的维修效果模型实际维修实施 中，因为维修人员技术技能、心理状态等因素，维修往往可能难以达到理想状态(1-≠( ))M，允许存在维修没有效果 ，甚至损坏设备的情形发生(文献[18]中的不 良维修)，使得系统状态到达 F。令人为影响因子为 d。，当0"o-1，维修效果为理想状态 ；当 -0，维修效果使得系统故障，用线性模型来表示人为因素对维修效果的影响关系 ，因此 有(19)变换整理后得到维修效果为Y - ((1-≠( ))M ～ F) F (20)将理想维修效果模型代入 ，得到考虑人为因素的维修效果模型为Y -f e。 M-F1 。F (21) /式中 可以通过对维修人员进行分类 ，对其各项指标定性描述 ，定量打分 ，通过人员综合素质评价得到。

系统工程与电子技术 第 35卷维修效果I大1子和人为影响因子结合起来能够包含小同的维修效果，涵盖厂实际巾的小良维修 、基本维修 、中度维修和完仓维修等不II情形 ：当 ≠(i) 0，为无用维修 (维修如旧)；当 ≠( ) 1，为最佳维修(维修如新)；当≠( ) P，P为 -个常数时，就是 B P模型；当 O<≠( )

-0，为最差维修(修后故障)； -1，为无人为损害维修 ；当 0(a.

2.3 维修时间估计埘于前 面定义的维修时问模型 D ，由于预防维修阈值 M 和维修次数 i之间关系不明确 ，函数类型很难确定，且实际中，只能得到某些特定预防维修阈值下维修时间数据 ，数据量小，从中很难发现 M 与i对维修时间影响的确定关系。日前，对维修时问研究常j的儿何分布模型，只考虑了预防维修阈值，而没有考虑维修次数对其影响，通过实验数据分析发现，这些几何分市不考虑维修次数时，拟合效果难以满足实际数据分布规律。

本文采用 维舣测和样条格点 插值方法(Matlab中的v4”算法)来获得维修时问与 M 和维修次数 i之间的关系。维修时间随着 i和M 变化均是单调的，符合插值的要求。根据实际的维修次数l祠M 构建二维数据点集合 MI(M， )( l，2，，L)，其中L为总的数据点个数 ，MI 为第/点的维修时问值 ，根据文献[19]，维修时问 D -D(M， )具有的形式为，D(M，i)- >：Olt≠2(]VII MJ) (22)f- 1式中，啦足待估参数 ； 为二维格林函数。

(MJ)- MI l 2(In I MI l- 1) (23)a nf通过求解线件系统获得fDM，- >：。 ≠2(MI -Mf )，s- 1，2，，L (24)f- 对未知点 M，通过式(22)计算其维修时间。

下面以某控制系统执行机构部件维修时间数据为例进行分析。刈历史维修信息中的维修时间进行统计 ，分别计算不 维修闽值 M 时，每次维修的实际时间D ，用每次维修平均花费时问来表示。得到 M分别为 35、4O、45、5O、58、6O、65时，D 的 7组数 ，图 2是实际维修数据散点图，这里表 1只给出 M-58时 D，的数据。

表 1 M58时每次维修实际维修时间维修序列 实际维修时问/h 维修序列 实际维修时间/h1 3.4 9 31.92 1 8.9 10 32.353 21.3 11 334 23.9 1 2 345 25.3 1 3 356 27.8 14 35.87 29.1 15 378 30.5 16 38 星誊图 2 实际维修时间散点图对维修阈值为 0的边际情况，实际维修时间尢法获取，町假设这时维修时间为 0(也就是无需维修系统就能恢复原状态)，得到 8个序列，共 8×16个数据点，用 Matlab对得到的实际维修时间进行插值分析，图 3是插值效果曲面图。

星絮漤袋图 3 v4算法维修时间插值效果图从 3可以看出，插值 函数能够模拟维修时间随维修阈值和维修次数的递增关系，插值方法 实际维修时HJ处的误差很小 ，算法精确度很高，达到 r分析要求。

3 实例仿真这里以某控制系统执行机构部件的退化数据为例，对以上模 进行应用 ，该数据足等间隔监测，监测间隔 /xt -1。图4为其-个监测序列 X 。

图 4 某控制系统执行机构部件退化数据根据历史监测数据和维修经验，目前预防维修 闽值为58，故障发生状态为 8O。

第 1期 葛协等：退化系统状态维修决策与维修活动建模用该监测序列求解 式(8)和式 (9)，得到 a-1.49，口-o.06。根据维修 记 录对式 (18)进行 拟 合估计 ，得到 a-0.809 6，b- 0.232 9。

图 5是人为影响因子为 0.98时，不同维修阈值下维修效果随维修次数变化关系。

拍螺图5 不同维修阈值维修效果变化图从图 5可知 ，不同预防维修 阈值下，维修效果达到稳定状态时的维修次数基本相同，只是当维修阈值设置越低 ，预防维修到达的时间将越早 ，发生的频率就越高，致使系统长期处于低状态运行 ，维修过度 ，装备利用率不高。当设置过高 ，维修难度将增大，表现为维修不足。

根据经验和历史维修信息统计得到参数为：Q-22 h，c。-200，C - 4，C - 60，R-850，N - 16， 。- 0.98，F-80。

因该控制系统为关键型系统且 已采用余度技术 ，本身可用度很高，余度部件之间不存在故障关联关系，可看作单单元退化系统 ，所以从经济性方 面进行考虑，采用决策模型 2。

根据以上参数对该部件的平均维修费用和平均可用度模型进行仿真。

将不考虑人为因素和维修时间变化的情形称为理想模型 ，将维修效果式(18)带入式(12)和式(13)，计算 E(Ti)，取 DMI为平均维修时间(28.5)，根据 At -l和 E( )确定P ，将这些决策变量带入式(15)和式 (16)，得到 EC和EA变化规律如图 6和图 7。

嚣霉1图 6 理想模型中平均维修费用变化曲线瞄霹1斗图 7 理想模型中平均可用度变化曲线将考虑人为因素和维修时间变化的情形称为实际模 。

其他决策量计算过程 同理想模型，只是维修效果用式(21)，D 用式(22)，得到EC和 EA变化规律如图8和图 9所示。

匪睢(躲暖鸳1斗图 8 实际平均维修费用变化曲线图图 9 实际平均可用度变化曲线从图 6和图 7可以发现，理想状态下，随着预防维修阈值变化 ，平均维修费用和平均可用度分别包含了维修过度(M<20)、状态 预防维修 和维修不 足(M>65)三个 阶段。

维修过度和维修不足都会引起费用提高，总体费用相当于16次的预防维修费用和-次替换费用。对维修过度情形 ，系统几乎没运行就实施维修活动，正常运行时间短 ，对于维修不足阶段 ，系统每次运行濒临故障才进行预防维修 ，直到达到规定维修次数 16次后进行替换 ，所以二者费用都很大。平均町用度与平均费用成相反的变化。中问是预防维修发挥作用阶段，平均维修费用很低 ，系统平均可用度很高，由于维修时间采用平均维修时间，因此维修 费用为常系统工程与电子技术 第 35卷数，平均维修费用和可用度主要随着系统总运行时间变化，对于退化模型求解可知，这个中间阶段系统为正常运行，总运行时问变化不大，但由于量级不问，相对于费用数据来说很大 ，所以这阶段平均维修费用量级很小 。

从图 8和图 9可以看出，平均费用和平均可用度总体变化趋势-致，但 比理想情形更加接近实际。当预 防维修阂值过低时，维修时问很短，维修效果很好 。当预防维修阂值设置过高时，维修效果和维修时间均增加 ，但是实际维修次数也少于规定维修次数 ，因此平均费用和平均可用度变化范围发牛了很大变化。通过比较也表明，维修效果和维修时间对维修决策影响很大，不能忽略。

分析图8和图 9，如果只考虑维修费用，得到最佳维修阈值为 54；如果只考虑可用度最高时，即 EAO.991 6，得到最佳维修阈值为 57，这和原先根据经验和专家设置的预防维修阈值比较接近，说明原先凭借经验设置的阈值是比较合理的。

从图 9可以发现 ，在过度维修和维修不足情形时 ，系统平均可用度也很高。这是因为该控制系统是关键型系统，其特点可用度本身要求就很高，且维修时间相对与系统运行时间较短，运行监测时间 位是天，而维修时间单位是小时，这必然使得平均可用性很高，且在较小范围变化。对的系统进行决策时，模型参数的变化将影响维修决策结果。针对小同类型系统，通过限定可用度，优化平均费用最小来确定最佳预防维修阈值 ，即可实现优化决策 目的。

4 结 论本文给出两个通用维修决策模型，基于历史维修信息对决策模型巾的参数进行定量分析，并分别针对决策中维修效果和维修时间两个重要 因素进行建模，通过对某控制系统在理想状态下的和考虑人为影响和维修时间情形下的决策过程进行对比，表明本文模型的有效性 。通过本文研究可以得到以下结论：(1)不 同研究对象的特征对维修决策模型影响很大 ，决定着模型中参数的确定和最终决策的可用性，而故障信息、维修记录等历史维修信息 中包含 了丰富的系统特征信息，综合历史维修信息和状态监测可使决策更加准确；(2)维修效果和维修时自J是维修决策中两个重要的不确定影响因素，如果建模不准确或者不符合实际，那么决策得到的结论将有可能错误。