振动信号小波leaders多重分形特征提取及性能分析

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velet Leaders M ultifractal Features Extraction and PerformanceAnalysis for Vibration SignalsLI Yanming DU WenliaoL YE Pengfei LIU Chengliang(1.School of Mechanical Engineering，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240；2.School of Mechanical and Electronic Engineering，Zhengzhou University of Light Industry，Zhengzhou 450002)Abstract：Mechanical vibration signal is a typical non-linear，nonstationary signal，an d multifractal features are powerful tool toexpress the geometry features of such sign als.The traditional multifractal features extraction methods require complex computation，which limit their application.Wavelet leaders-based multifractal analysis has solid supports of mathematical theories and Can becalculate easily.A multifractal features extraction method is presented based on wavelet leaders，which is applied to the gearsvibration signals under normal and pitting conditions.An optimization algorithm is given to conform the block lenh of bootstraptechnology，and then a validity testing method is presented to test the characteristic variables obtained from vibration sign als withwavelet leaders-based multifractal features extraction.The result shows that the geometry features of vibration sign al can be reflectedwith wavelet leaders multifractal features，and the block bootstrap method Cal be used to an alyze the statistical perform an ce ofmultifractal features，which provides an efective approach for condition monitoring and fault diagn osis of mechanical equipment。

Key words：Wavelet leaders Multifractal features Block bootstrap Perform ance analysis Fault diagn osis0 前言机械设备向着自动化、高精度方向发展，状态·国家自然科学基金(61175038，51205371，51275290)、上海市科委基础研究重点(11JC14O580O)和上海市科委高新技术重点(11dzl121502)资助项目。20121205收到初稿，20130225收到修改稿监控和故障诊断技术的应用为保障设备安全运行提供了重要保证。设备振动信号中包含了丰富的运行信息，如何从中提取准确反映设备状态的特征是状态监控和故障诊断领域的研究热点L1 J。机械振动信号是典型的非平稳、非线性信号，在-定尺度范围内都具有分形的特征，这种几何结构特征为设备的62 机 械 工 程 学 报 第 49卷第 6期式中，权重 满足∑ -1和∑wj-0，， f0，1，2， 是反映lbS ( ，q)置信度的可任选的正数，不失-般性，可选择 r/J( ，g)∑RI(j，k)lbRqx(j，k)lbnj( ，q)∑ ( ，k)lbLx(j， )( ，尼)：∑Lx(j， )。

kl2.2 基于块 bootstrap振动信号多重分形特征统计量性能分析多重分析特征的尺度指数和多重分形谱均为统计特征，对其进行统计性能分析是考察特征稳定性和置信度的重要手段。然而对实际的自然信号，无法解析地进行置信区间的计算，本文借助非参数的bootstrap方法来进行振动信号特征量的统计性能分析。由于同-尺度内小波 leaders并非-定符合独立同分布的条件，本文提出采用块bootstrap技术对小波leaders进行重采样，根据生成的样本计算特征统计量，进而得到这些特征量的置信区间。

块bootstrap方法采样过程首先要求选择合理的块长，本文采用 PATTON H1所提的平顶滞后窗函数，利用谱估计的方法得到最优块长的插入法估计，这样得到块 bootstrap方差估计的均方误差最校对小波 leaders序列Lx( ，·) 墨， ，， )均值 和自协方差序列R(s)均未知。均值 是渐进正态分布的，方差就可以表示为Var(42)R(0)2姜(1- )R( )(5)记块 bootstrap的方差为 胎，其中b表示块长，定义谱密度函数g(w)∑R(s)cos(ws)，有Bias(，肋)-÷Go(1/b)Var( 船) D(6/N)式中，Ds2g (o)，G∑ (后)，则胍 ( 砌) G2% 。 )。(6/Ⅳ) (6)对觚 E最携，得最优块长bop，Ss( 2 G2 c7结合平顶滞后窗技术，对G、g(0)精确估计。

这里e：∑X(k/M)lk(k) r-雪( ∑A(k/M)R(k)cos(cok)式中， (七)Ⅳ ∑( - )( - )， )为平顶滞后窗函数，定义为f1 IfI∈[0，1/2]I其tl他[1 (8)得N d，波leaders序列的块长后，就可以对序列进行 bootstrap采样，利用生成的bootst，就可以计算出多重分形特征的统计性能。

3 算例分析试验数据来自电动机-泵站中的齿轮减速器J ，在转速 1 kr/min工况下，按12.8 kHz采样频率分别采集齿轮正常和点蚀故障两种状态下的振动信号。

对安装在减速器靠近驱动齿轮的振动信号(对应数据集中的第三通道数据)进行分析，图 2是两种状态对应的振动信号时域波形，包括4 096个。

对信号利用Db3小波进行 1O层小波分解，利用各层提取的小波 leaders 计算振动信号多重分形特征，包括尺度指数和多重分形谱。其中多分辨量矩的阶数取[-20，20]，多分形谱在小波分解层数 2～9进行回归计算。齿轮两种状态对应的多重分形特征如图3、4所示。两种状态下 (g)-g之间均呈现非线性关系，表明这两类振动信号均具有多重分形特征，二者的多重分形谱均为单峰函数，进-步说明其多重分形性。但是二者的具体奇异性又有不同，从多重分形谱曲线来看，故障状态对应的D(lz)大于正常状态的，更接近 l。而故障状态对应的Ah - 0.9，比正常状态对应的0.7更大。

另外，故障状态对应的 i O.15，小于正常状态对机 械 工 程 学 报 第47卷第2l期表2 齿轮正常状态和点蚀故障状态振动信号多分形尺度指数特征置信区间表多分辨量 多分形尺度指数置信区间 多分辨量 多分形尺度指数置信区间 多分辨量 多分形尺度指数置信区间矩阶数g 正常状态 点蚀故障状态 矩阶数g 正常状态 点蚀故障状态 矩阶数q 正常状态 点蚀故障状态- 20 [-2O.6，-18.2 [-20.4rl8.3 -6 [5.3，-4.8] [-5.3，-4.8 9 3.9，4.5 2.6，4.0- 19 l9.5，-17.2 -19.3，-17.3 5 4.3，-3.9] -4.3，-3.8 l0 4.2，4.9 2.7，4.3- l8 [18.4，-16-3 18.3，-16.4 -4 3.3，-3.0] -3.3，-2.9 1 1 [4.6，5.3 2.8，4.6- l7 l7-3rI5.3 [17.2，-15.4 -3 [-2.3，-2.1 [-2.3，-2.01 l2 [4.9，5.81 [3.0，5.0- 16 l6.2 l4.4 16.1，-14.4 2 1.5，-1.3 1.4，-1I3 l3 5.3，6.2 3.1，5.3- 15 -15.1，-13.4 15.0，-13.5 -1 [-0.7，-0.6 [-0.7，0.6 14 5.6，6.6 3.3，5.6- 14 [14.0，-1 1.5 [14.0，-12.5 1 [0.6，0.6 [0.5，0.6 15 5.9，7.1 [3.4，6.0- 13 [12.9，-11.2 [12.9，-11.6 2 1.1，1.2 1.0，1.1 l6 6.2，7.5 3.6，6.3- 12 1 1.8，-10.5 [-1 1.8，-10.6 3 1.5，1.7 1.4，1.6 l7 6.5，7.9 3.7，6.6- 1 l lO.7，-9.6 [l0.7，-9.6 4 2.0，2.2 1.7，2.0 18 [6.8，8.3 3.8，6.9- 10 [-9.6，8.6 -9.6，-8.7] 5 2.4，2.7 2.0，2.5] l9 7.2，8.8 4.0，7.39 [8，5，-7.7 8.5，.7.7] 6 2.8，3.1 [2.2，2.9 2O 7.5，9.2 [4.1，7.68 7.4，-6.7 7.5，-6.8 7 [3.1，3.6 [2.3，3.2- 7 .4，-5.8] -6.4，-5.7 8 3.5，4.O [2.5，3.6表3 齿轮正常状态振动信号多分形谱特征置信区间表多分形谱特征置信区间 多分形谱特征置信区间 △ 多分形谱特征置信区间矩阶数g der指数多 值： 矩阶数q r指数 多 值 三 ：兰 矩阶数口TJ 指数olde . 值20 0.95，1.09 o.81，O.36 O.93，1.04] o.11，O.34 9 O.34，O.44] 0.11，O.60- 19 O.95，1.0] [-0.81，O.36] 5 fO.92，1.o1] [O.08，O.40] lO fO.33，O.44 [0.o3，O.59]- l8 O.95，1.10 [-0.8O，O.35 O.89，O.97 O.33，0.5l l 1 0.33，0.44 -4).02，0.59- l7 [0.96，1.10 -0.79，0.35 -3 [O.84，O.90 O.58，O.68 l2 O.33，0.44 Jo.07，0.6O- 16 O.95，1.10 [-0.77，0.34] 2 0.76，O.82 0.81，O.85 13 0.32，0.44] [-0.1l，0.60]- 15 O.95，1.1O] [-0.74，O.33] -1 O.67，0.73 O.95，O.96] l4 0.32，O.44 Jo.13，O.6l- l4 0.95，1.1O [-o.7O，0.32] 1 [0.53，O.58] [O.96，O.97 l5 0.32，O.44] 旬.16，O.62]- l3 0.95，1.10 [-0.65，0.33 2 [O.48，0.54 O.89，O.92 l6 O.32，O.44 0.23，O.63- l2 0.95，1.1O 0.64，O.33] 3 O.44，o.51] 0.78，0.85 17 0.32，0.44 [-0.28，0.64]- 1 1 [O.94，1，10] [0.61，O.34 4 O.42，0.49 O.66，O.78] 1 8 [O.32，O.44] [-0.30，O.65]- lO O.94，1.09 [-0.59，035 5 0.40，0.47 [0.53，O.71 l9 O.32，O 44 [0.34，0.650.94，1.09 [-0.57，O.35 6 O.38，0.46 0.39，O.67] 20 0.32，0.44 [-0-38，0.66- 8 0.94，；.08 0.43，0.33 7 0.36，0.45] 0.28，0.650.93，1.07] [-0.24，O-3l 8 O.35，0.44 O.18，O.63表4 齿轮点蚀故障状态振动信号多分形谱特征置信区间表多分形谱特征置信区间 多分形谱特征置信区间 △ 多分形谱特征置信区间， i-矩阶数 g r指数多 ： ：. 矩阶数 H。·aer指数 多寡 薹 值 矩阶数 H。·der指数 多寡凳篓喜值- 20 O.95，1.10 [0.42，O.33 6 0.94，1.07 [-0.16，O.2O 9 0.13，O.35 [-0.73，O.27- 19 O.95，I.10 [-0.4O，O.32] -5 [0.92，1.04 0.02，0.32 10 O.12，0.34 [-0.85，O.201- 18 [O.95，1.1O [-0.38，O.3O .4 0.87，1.00 [O.26，O.48 1 1 0.12，0.34 [-0.92，0.13- 17 [0.95，1.1O [-o.36，o.26] -3 [o.80，0.93] [0.51，0.68 12 [0.12，0.33 [-0.98，O.07]- 16 O.95，1.10 [-0.37，0.23 2 O.73，O.82 O.77，O.86 13 O.13，O33 1.叭，0.Ol- 15 [O.95，1.10 [-0.38，O.21] -1 [0.65，O.71 0.95，0.97 14 0.13，0.33 [-1.04，O.00]- 14 [0.95，1.1O [-0.40，o20] 1 [0.50，0.56] O.96，0.97 l5 [0.13，O-33 1.09，0.oo]- 13 0.95，1.09 [-o.42，O.2l 2 O.43，0.51 O.84，O.90 l6 0.13，032] 1.11，0.O0- 12 [O.95，1.09 [-o.43，0.2l 3 0.35，O.46] 0.65，0.80 17 O.13，O32 1.12，O.O1- 1 1 [0.96，1.08 [-0.44，O.19 4 O.28，O.43 0.36，O.69 l8 O.13，OI32 1.12，O.Ol- 1O [0.96，1.O8 0.44，O.19 5 [0.21，O.40 O.07，0.60 19 0.14，0.32 1.12，O.01]-9 [0，96，1.08 [0.44，0.18 6 [0.18，0.38 [-0.20，0.50 2O [0.14，O-32 1.11，O.O0- 8 O.96，1.08 [-0.40，O.17] 7 O.15，O.37 J0.41，0.42.7 [0.95，1.08 [0.33，0.16 8 0.14，O.36] [-0.58，O.342013年 3月 李彦明等：振动信号小波leaders多重分形特征提劝性能分析 654 结论(1)提出了振动信号基于小波 leaders的多重分形特征提取方法；基于块bootstrap采样技术，提出了多重分形特征统计性能进行评估的非参数方法。

与传统利用小波变换提取信号多重分形特征的小波模极大方法相比，更符合数据本身的特征，在理论上具有更强的鲁棒性。

(2)用上述方法对齿轮正常和点蚀故障的振动信号进行了分析，结果表明故障信号具有更明显的信号奇异性，与信号波形的直观表现吻合。

(3)算例的分析结果也证明了基于小波 leaders方法提取的多重分形特征能够很好地反映振动信号的几何结构特征，这为从振动信号中提取设备状态特征，进-步进行状态监控和故障诊断提供了又-种有效的方法。