机翼结构相似颤振模型制造的模态频率误差修正方法

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Error-correction M ethod of the M odal Frequency for the M anufacturing ofW ing Flutter Model with Structure-similarityYANG Rui ， ZHANG Qiang SUN Shiyong ZHAO Bowen GUO Dongming (1.School of Mechanical and Engineering，Dalian University of Technology，Dalian 1 1 6024；2.Key Laboratory for Precision an d Non-traditional Machining Techn ology of M inistry of Education，Dalian University of Technology，Dalian 1 1 6024)Abstract：The flutter model must ensure the precision of the geometry and the performance target.According to the structuredynamics principles and the bending-twisting coupling efect of composite，here al error correction method of frequency is presentedfor the manufacturing issue of the composite structure-similarity flutter model(ComSFM).The core of the method is to addappropriate composite laminates on the skin to change the stiffness distribution of the ComSFM，and then the error of frequency willbe corected by adjusting weight to change the mass distribution.In this method，the error of the modal frequency is converted intothe error ofthe stifness distribution by an alyzing the property ofthe error and the man ufacturing process ofthe mode1.Th e finiteelement model of the structural dynam ics and the optimal strategy of the NLPQL are adopted to construct the optimum design for theeror corection scheme.Th e specific way of the adding composite is achieved by using this design method.Th e wing box of theairliner is chosen as the numerical example，and erors of the bending frequency and torsional frequency about this model arecorrected respectively.Results show that the error corection method is efective.And this method Can also be beneficial to theman ufacturingoftheproductthatthetargetistheperformanceprecision。

Key words：Fluter model Modal frequency Error corection Structure similarity Composite0 前言围绕颤振模型开展的风洞颤振试验是飞机研国家自然科学基金资助项目(51275073，50835001)。20120809收到初稿，20121228收到修改稿制中的必经环节之-，用于获取飞机整体或部件的颤振特性，对于飞行安全性具有至关重要的意义 J。

根据相似理论的要求，颤振模型必须与原飞机结构具有-定相似性，即不仅在几何外形上要与原结构构成缩比关系，而且其质量特征(包括总质量与质量分布)及刚度特征(包括结构总刚度和刚度分布)均要2013年 4月 杨 睿等：机翼结构相似颤振模型制造的模态频率误差修正方法 59限单元法，可得颤振模型结构的无阻尼自由振动方程为J，l kx (1)式中，小 为结构整体质量矩阵，k为结构整体刚度矩阵， 为节点位移列阵。

对于i阶模态有《k-09/2) 0，可以求得仍和 ， 称为自然振型(模态)， 称为固有频率。

所以颤振模型的模态固有频率是由结构的整体刚度矩阵 k和整体质量矩阵 朋决定。在制造过程中，颤振模型的质量分布可以通过调整模型配重来满足设计要求，即可以保证模型的整体质量矩阵埘的正确性，所以颤振模型的模态频率误差是由模型的刚度误差引起，模态频率误差修正的关键是修正模型的刚度分布。

2.2 复合材料层合板弯扭耦合效应颤振模型制造后模态误差可能是弯曲刚度误差引起，也可能是扭转刚度误差引起，还可能是两者同时引起，所以针对颤振模型的模态频率误差，需要对弯曲刚度和扭转刚度进行不同程度的修正。

由于复合材料具有可设计性和显著的各向异性，所以可以利用复合材料层合板弯扭耦合效应，在颤振模型蒙皮内侧贴补不同方向和厚度的铺层，实现ComSFM 的刚度误差的修正。

根据复合材料经典层合板理论，复合材料的应力应变关系和刚度方程可以表示为NNNMM 4：置：f置1 Sl2I骂 kl( ) (Zk-Zk1) 吉∑( ) ( - 2-。) 厶k l ”去∑( ) ( 3 3) J k l( ㈥式中，Ⅳ 为层合板横截面上单位宽度(或长度)上的内力(拉、压力和剪切力)； 为层合板横截面上单位宽度的内力矩(弯矩和扭矩)；占。为中面应变；k为中面曲率； 、 和 分别为拉伸刚度矩阵，耦合刚度矩阵和弯曲刚度矩阵；Q表示代表主方向的三维刚度矩阵 Q的转置矩阵；z是层合板各单层到中面的距离。4 、 ：、 ：为拉(压)力与中面拉伸(压缩)应变间的刚度系数； 为剪切力与中面减应变之间的刚度系数；4 、 为剪切与拉伸之间的耦合刚度系数； 、 、 ：为拉伸与弯曲之间的耦合刚度系数； 为剪切与扭转之间的耦合刚度系数； 、 为拉伸与扭转或剪切与弯曲之间的耦合刚度系数；Dl，、 、 ：为弯矩与曲率的刚度系数； 为扭转与扭曲率之间的刚度系数；、 为扭转与弯曲之间的耦合刚度系数。

由以上分析可知，可以在 ComSFM 的蒙皮上添加不同角度的铺层，得到不同的刚度系数，从而得到满足要求的弯曲刚度和扭转刚度，实现对模态频率误差的修正。

3 误差修正方案的优化3.1 优化数学模型建立针对模态误差修正这-问题，对蒙皮进行修正区域划分，以每个修正分区的铺层厚度和铺层角度为优化变量，以结构的前 n阶模态频率为目标值建立优化数学模型。

Find (di， ) 1，2，，m· / 211n ： ，2，，i1 W js.t.di∈( ，28t，，N )fl 2-，m0。≤ ≤180 i1，2，，m (6)式中， 为颤振模型的第.，阶模态固有频率设计指标(J1，2，，n)； ，为颤振模型的第 阶模态当前频率；g，为根据各阶频率的重要程度而设定的加权系数； 和 分别为贴补区域 f(i1，2，，m)的铺层厚度和铺层角度。由于复合材料铺层的单层厚度为定值 ，同时进行误差修正的铺层不能超过 Ⅳ ，所以铺层厚度为离散变量，铺层角度为连续变量。

3.2 连续二次规划法本文采用连续二次规划(Non-linear programmingby quadratic Lagrangian，NLPQL)进行优化设计，、，、、砌，，，，.................--/机 械 工 程 学 报 第49卷第8期NLPQL在求解有约束非线性数学规划问题时，具有稳定、收敛快和易于得到全局最优解等优点。序列二次规划是 NLPQL的核心，它的基本思想是将 目标函数以泰勒级数展开，并把约束条件线性化，把- 般 的约束 问题转化为求解-系列 的二次规划问题。

对于-般有约束非线性数学规划问题min厂 )s.t.cl )0cI )≤0可定义拉格朗日函数为L(x， )厂( )-∑五 ( ) (8)i1式中， ( ， ，， ) 是拉格朗日乘子矢量。对拉格朗日函数施加拟牛顿法，在每次迭代中，使正定对称矩阵 B (k0，1，2，)是 Hessian矩阵V2L(xk， )的良好近似并不断更新，则可以通过逐次计算以下二次规划问题求得原问题的拉格朗日稳定解。

1 -min L d B d(Vf(x )) d、s.t.(Vc，(x ))d )0 f1 2-，(Vq(x ))dcI(x )≤0 f， 1，me2，，m(9)式中，d ： - 。其中二次规划问题可以容易地应用对偶法求解。

在进行误差修正方案优化时，需要首先对蒙皮进行修正区域划分和铺层材料选择，然后通过优化各修正区域的铺层厚度 和铺层角度 来得到误差修正方案。在优化过程中，由于蒙皮分区较多，导致优化变量太大，优化时间较长，不容易达到最优解，同时优化设计变量存在离散变量和连续变量，属于连续和离散混合优化，增加了优化难度。所以针对以上问题，采取图3所示的优化流程。

步骤 1：采用 ANSYS有限元软件，建立颤振模型的有限元模型，获得设计变量的响应值。通过改变其中的-个设计变量，同时保持其余的设计变量不变，计算该变量变化对 目标函数的影响，从而获得敏度。

采用敏度分析获得对 目标函数敏感的修正区域，去除大量对 目标函数影响小的设计变量，缩小优化规模。

步骤 2：采用 NLPQL方法优化所选定修正区域的铺层厚度 和铺层角度 ，对于设计变量包含离散变量和连续变量的混合优化，目前多采用遗传算法等智能算法进行优化，但优化时间较长，收敛较慢，所以本文将铺层厚度 当成连续变量，应用NLPQL对d 和 同时进行初次优化。

步骤 3：当铺层厚度 和铺层角度 初次优化完成后，对铺层厚度 进行离散取值，从而得到修正区域的铺层厚度。然后再次对修正区域的铺层角度 进行优化，得到最终的铺层角度。

/ 蒙皮修正区域划分 及铺层材料选择 /敏度分析获得敏感区域I采用连续二次规划法优化铺层厚度和铺层角度Il铺层厚度离散取值，铺层角度在此优化II(获得误差修正方图3 修正方案优化流程图4 模态频率误差修正算例4.1 有限元分析模型在风洞试验中，颤振模型的-阶弯曲频率，二阶弯曲频率和-阶扭转频率是最重要的性能指标，所以颤振模型的模态误差修正主要是指模型的-阶弯曲频率，二阶弯曲频率和-阶扭转频率的误差修正。

对于大型客机和运输机机翼，主要由主盒段、前后缘襟翼和副翼等组成，其中主盒段为机翼的主要承力结构。为了验证本方法的有效，以某大展弦比机翼颤振模型的主盒段为例，如图4所示，进行模态误差修正。它主要由上下蒙皮、前后梁和肋构成，其中蒙皮是盒段整体刚度的主要提供者，它即提供弯曲刚度又提供扭转刚度，梁主要提供弯曲刚度，肋主要提供扭转刚度。该机翼主盒段展向最大尺寸为 l 010 rain，弦向最大尺寸为 180 mlTl，最小尺寸为60 ilna，高度为 20 mm，后掠角为 63。。蒙皮材料与梁、肋材料如表 l所示，其中El为纵向拉伸模量， 为横向拉伸模量，G ：为面内切变模量，为泊松比，铺层角度均为0o/45。/90/-45。 ，单层厚度为 0.2 IlI/1。

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作者简介：杨睿，男，1974年出生，博士，副教授。主要研究方向为复合材料零件的制造和设计、结构优化。

E-mail：yangrui###dlut.edu.cn孙士勇，男，1981年出生，博士，讲师。主要研究方向为复合材料制造及其结构的力学分析。