评定平面度误差的几何搜索逼近算法

平面是机械零件的重要几何元素之- ，平面度是评价平面是否满足设计要求的主要指标，平面度误差的大小对产品的质量及其使用寿命有着重要 的影响，因而快速准确地对平 面度误差进行评定有重要的实际意义 。

平面度误差是包容实际平面且距离为最小的两平行平面之间的区域 ，为了寻找这样 的最小区域，多年来-直有学者致力于这方面的研究 ，除最小二 乘法 外，比较有代 表性 的优化 算法有 凸包法1]、有序判别法Ez]、计算几何法[3]、遗传算法[4]、线性逼近法[5]、进化算法[6]、增量算法[7]、粒子群算法 ]、蜂群算法 等。最小二乘法与形状误差评定的最小条件准则相悖 ，不适于误 差的精确评定 ；优化算法较难被实际操作人员所掌握 ，因此研究-种简单直观 、易于被广大质检计量人员掌握的平面度评定算法是十分必要的。

依据平面度误差 的定义及其几何特点 ，本 文提出-种新的、简单 的平 面度误差评 定算 法--几何逼近搜索算法，该算法只需要重复调用点与平面之间的距离公式 即可精确有效地获得最小区域平面度误差 。

2 评 定原理首先依据测量点的坐标，选择 3个测量点作为初始参考点，在每个参考点 附近分别构造 2个辅助点(在平行 于测量平 面垂直 的方 向上，如 图1)，则 6个辅助点可构造 8个辅助平面 ，3个参考点则构造出-个参考平面。假设辅助平面为评定被测平面的理想平 面，通过计算所有测量点至假定理想平面的距离就可 以得 到 8个平 面度误差值，8个平面度误差值之中最小者记为 F。，与 F0所对应的假定理想平 面是 由 3个辅助点确定 的，这 3个辅助点分别记为 R。、S。和 。假设 3个参考点构造的参考平面为被测平面的理想平面 ，也可得到平面度误差值，记为 F。若 F≤F0，则参考点不变 ，取 .厂-，/2，重新 构造辅助点再次得到Fo；若 F>F。，则参考点转变为 R。、S。和 ，重新构造辅助点并计算 F0和 F；当 .厂很小时，可 以认为搜索到的假定理想平面已经十分接近实际理想平面，此时得到的 F0和 F中的最小者 即为被测平面的最小区域平面度误差 。

3 评定步骤设测量点为 ( ，Y ， )( -1，2，3，，～)(N > 3)。

3.1 选取参考点为便于计算及保证评定准确度，参考点间的间距应尽量大些 ，-般选取被测平面的边缘点 ，本文选取 R(x，，Y，，Zr)、S(x ，Y ，z )和 T(x ， ， )作为参考点 ，如图 1所示。

图 1 平面度误差几何逼近搜索评定原理Fig.1 Evaluation principle of flatness error basedon geometry searching approximation3.2 构造辅助点以参考点为基准 ，在垂直于被测平 面的方 向设置 2个辅助点，辅助点之间的距离为 ，，厂可依光学 精密工程 第21卷据最小二乘平面度误差确定或者按加工质量估计。各辅助点 R (1z ，Y ， )、S，(z ，Y ， )和 T(z ，Y ， )的 坐标按式(1)计算 。

fz - (- 1) -厂/2z - (- 1) f/2 i- 1，2. (1)lz - (～ 1) f/23.3 构造辅助平面由不共线的 3点确定-个平面的原理可 以知道，6个辅助点可构造 出 8个辅助平 面，8个辅助平面的三点式方程为：I z-z Y- z-z l fi-1，21 z -z Y -Y z - I-0 J-1，2。

1 z -z Y -Y， z - l Ik-1，2(2)设平面的-般方程为 AxByCzD-0，则 8个辅助平面的-般方程的系数为：A驰 -B -C -Ys- .yr - n I- - z 1zjCs--zX r Z sj -- n 1 .f-r znlz -lzr s-.yr l ·(。)z - ， Y -Y 1rs - rt- Yr同理，3个参考点构造 的参考平面方程的系数为：A。-l -1 Y - Y. (4)3.4 计算测量点至辅助平面的距离极差利用点至平面的距离公式(式(5))，依次以 8个辅助平面为假定理想平面 ，计算所有测点至辅助平面的距离并找出测点至每-辅助平面距离的最大值 、最小值 以及距离极差值。

F - Ajx Bqky -kC z Djk r，/akB c所有测量点至任-辅助平面的距离 中必有最大值和最小值，分别过最大值和最小值所在的点做平行于辅助平面 的平面，可以得到 2个平行平面 ，这 2个平行平面之间的区域就是包容所有测量点的空间区域，依据平面度误差的定义可知 ，这2个平行平面之间的距离(式(5)计算 出来 的最大值与最小值之差)就是平面度误差 。有 8个辅助平面就可以得到 8个平面度误差 ，其 中最小的误差记为 ，与 F0所对应 的假定理想平面所依附的 3个辅助点分别记为R。(-z ，.y ，z加)、S。(z ，Y ，Ys0和 T0(z，Y ， ∞)。

Fo- rain(F珊) - (F ) i . (6)3.5 计算测量点至参考平面的距离极差采用点至平面之 间的距离式 (7)计算所有测点至参考平面的距离 ，并找出距离极差值 F。

F - 垡 些 ± ， (7)/A20B C；F - max(F )- rain(F ). (8)3.6 搜索逼近若 F≤F0，则参考点不变，取 .厂-f/2，重新构造辅助点 ，重复步骤 3.2-3.4，3.6；若 F>F0，则以步骤 3.4中得到的点 R。(z ，Y ，z )、S。(z ，Y ，)和 T0(z ，Y ，z 。)为新的参考点 ，区域 不变，重复步骤 3.2-3.6；当 厂很 小时 (- 般取 .厂≤0.000 1 ram)，可以认为搜索到的假定理想平面已经十分接近实际理想平面 ，此时得到的 F。和 F中的最小者即为被测平面的最小 区域平面度误差△F。

△F - rain(F ，F). (9)4 实例验证测量数据来源于文献[1](表 1)、文献E3]、文献E6]及文献[9]皆对该组数据按作者所研究的算法进行了处理 ，得到了相-致的结果 ，验证 了各 自研究算法的正确性 和特点 ，不 同算法的结果列于表 2。

为验证本文所提算法 ，初始区域分别取 .厂为o.35、o.25、0.15、0.05、0.01 mm，初始参考点取被测平面的边缘点 P (0.2，0.2，-0.064 5)、P(0.6，1.0，-0.019 97)、P25(1.0，1.0，- 0.02121)及 P1(0.2，0.2，-0.064 5)、P25(10，1.0，-r， r z z- -z--驰D - -- - - -- -- - - -五 五 五- - -第5期 雷贤卿，等：评定平面度误差的几何搜索逼近算法 13150.021 21)、P5(0.2，1.0，-0.062 370)2种参考点 ，终 止搜 索 条 件分 别 取 厂≤ 0.001 mm、f≤0.000 1 rflm、，

表 1 测量数 据Tab.1 M easurement data表 2 不 同方 法的计算 结果 比较 表Tab.2 Comparison of results given by different methods(ram)计算方法 平面度误差凸包法计算几何法3]最'b-乘法E。

标准遗传算法眦进化策略算法嗍蜂群算法 9改进蜂群算法嘲O.171 974 9O.162 125 60.172 9O.161 00.155 20.154 895O.154 87表 3 初始 参考点为 P 、P。s、P2s时的计算结果Tab.3 Calculation results from the reference points P1，P1 5and Pz5 (ram)表 4 初始参考点为 P 、Ps、P：s时的计 算结果Tab.4 Calculation results from the reference points P1，P5 and P25 (mm)从表 3、表 4、表 2可以看 出，本文提出的平面度几何搜索逼近算法结果与文献E9]的计算结果相-致 ，评定结果明显优于其他文献。在 2种初1316 光学 精密工程 第21卷始参考点模式下 ，尽管初始区域不同，但终止搜索条件相同时 ，误差结果-致 ，说明算法具有良好的稳定性及初始条件选取的简易性 。在使用本算法时，3个初始参考点不能共线且旧能 构成较 大的参考平面，初始区域可灵活选择，-般取最小二乘平面度误差 ，或者依据加工精度确定。

从表 3、表 4可以看出，终止搜索 的条件决定了误差的评定精度，在终止搜索条件为 ，≤0.0011TITI时 ，不同的初始 区域所得到的平面度误差 略有差别 ，可以适用于-般精度平面度的评定 ；在终止搜索条件取 厂<-G0.000 Ol mm 或者更小 时，误差评定结果与终止搜索条件 厂≤0.000 1 mm 的结果仅有亚纳米或者更小 的差别 ，对于微米级测量 ，终止搜索条件取 .厂≤O.000 1 mm足可 以满足评定精度要求。