基于谐波干扰的轧机主传动机电耦合系统参激振动机理研究

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仪器仪表／检N／监控 现代制造工程(Modem Manufacturing Engineering) 2013年第 10期基于谐波干扰的轧机主传动机电耦合系统参激振动机理研究张瑞成，王佩佩(河北联合大学电气工程学院，唐山 063009)摘要：在考虑轧机电气系统谐波转矩及机械摩擦因数的基础上，建立直流电动机_车L机主传动机电耦合系统的模型。采用多尺度法求解该机电耦合模型在主参数共振情况下的一阶近似解，给出了振子的频率响应方程，用数值方法研究了定常解的稳定性，并应用Poincare映射方法和最大Lyapunov指数分析了谐波角频率对轧机主传动机电耦合系统非线性参激共振的影响。

关键词 ：轧机主传动；机电耦合；参激振动；谐波 ；混沌中图分类号：TH16 文献标志码：A 文章编号：1671—3133(2013)10—0102—06Study on parametrically excited vibration in the rolling mill electromechanicalcoupling system based on harmonic disturbanceZhang Ruicheng，Wang Peipei(Colege of Electrical Engineering，Hebei United University，Tangshan 063009，Hebei，China)Abstract：The electromechanical coupling model of a rolling mill and DC motor system is established based on the mechanicalfriction factor and the harmonic torque of the roling mil electrical system．By means of a multiple—scales method，the existenceand stability of periodic solutions in a first order approximation close to the main parametric resonance are investigated，and thefrequency—response equation is provided．Bifurcations of the system and regions of chaotic solutions are found．And the impacts ofthe harmonic angular frequency on the roling mill electromechanical coupling nonlinear parametric excitation resonance are aria—lyzed by the Poincare mapping method and the maximum Lyapunov exponent.

Key words：rolling mil main drive；electromechanical coupling model；parametric excitation vibration；harmonic；chaos0 引言随着钢铁工业的发展，在轧制过程中电气系统与机械系统配合不好，容易出现传动系统的机电振动现象，严重影响产品的质量和控制精度，甚至造成设备损坏?。轧机主传动系统是一个集多学科的复杂系统，系统结构参数间存在不同程度的耦合现象 2]。以往对轧机主传动系统机电振动问题的研究，通常将轧机机械系统和电气系统割裂开来，但主传动系统中电气参数的变化也直接影响轧机的振动特性。因此，研究轧机振动问题应该结合机械和电气因素建立轧机主传动机电耦合系统的模型，对其振动特性进行综合的分析。钟掘提出了对复杂机电系统进行全局耦合河北省自然科学基金资助项 目(F2010000972)102分析，建立了直流电动机驱动的平整机机电耦合系统模型并进行分析 4。 文献[5]建立了直流电动机和轧机主传动机电耦合系统模型，并用计算机仿真研究其机电耦合系统瞬态响应。文献[6]建立了交流电动机和轧机主传动机电耦合系统模型，采用数值方法研究了机电参数相互耦合对轧机振动特性的影响。文献[7]建立了一类考虑电动机电磁能、非线性摩擦力矩的两惯量轧机主传动机电耦合扭转系统模型，对该系统的 Hopf分岔现象进行了定性分析。对于机电耦合非线性振动系统其机理及特性的研究，Yamapi等人利用非线性分析理论的平均法和谐波平衡法研究了自激机电耦合系统的分岔行为与失稳现象 。

然而电力系统谐波对系统特性也会有很大影响。

张瑞成，等：基于谐波干扰的轧机主传动机电耦合系统参激振动机理研究 2013年第 10期为此 ，在考虑轧机电气系统谐波转矩及机械摩擦因数的基础上，建立轧机主传动机电耦合系统模型，采用多尺度法求解振动系统在主参数共振情况下的一阶近似解，得到振子的频率响应方程，用数值方法研究了定常解的稳定性，并应用 Poincare映射法和最大Lyapunov指数法分析了谐波角频率 对轧机主传动机电耦合系统非线性参激共振的影响。

l 轧机主传动机电耦合系统模型的建立为了进一步研究轧机在轧制过程中产生的 自激振动问题 ，将轧机主传动系统简化为集中质量的两 自由度弹簧系统，直流电动机_车L机两质体机电耦合系统模型如图 1所示。

● — — — — ． ． ab。
j —— — — — 1 一 l-— — — — 图 1 电动机-轧机两质体机电耦合系统模型图1中， 为电枢电流；R 为电枢回路等效电阻；。为电枢回路总电感；Ud为电枢回路总电压；E。为直流电动机反电动势；l， 、 分别为电动机和负载的转动惯量； 、Mz分别为电动机输出电磁转矩和负载转矩；。、 ：分别为电动机和负载的角速度；K、C。分别为弹性轴刚度系数和阻尼系数；0为轧机与电动机的相对旋转角度。

根据力矩平衡原理，考虑作用在轧辊上的力矩平衡，得到轧机主传动系统的运动微分方程为：J 0+C1 0+KO=Ml一 一FR (1)式中：-，=J +J：；F为摩擦力，F= ，P为轧制力，为摩擦因数； 为轧辊半径。

由于轧辊与轧件的摩擦因数 随着相对滑动速度 而变化，其函数可表示为式(2)的形式 J：= 0一 + (2)：R 0，则：= 。一bR 0+cR 0式中： 。为摩擦因数参数，一般取值 IX。=0．2～0．49；b=0．03～0．09：C=0．001 5～0．003 3。

将式(2)代入式(1)得：J0+C1 0+KO=M1一Mz-IX0RP+bR P 0一cR P 0 (3)令：Ixo =m0，bR P=m1，cR P=m3，移项并化简，得方程式(4)：J 0+(C1一，n1)0+m3 0 +KO=M1一Mz—mo(4)现代电气传动系统大部分是由晶闸管变流装置给电动机供电，因此，电动机主回路包含电流谐波分量。根据轧机主传动机电耦合系统及电气传动的特点，电流谐波分量在主传动轴上形成谐波转矩，直接驱动工作机械运动产生强迫振动，是轧机主传动机电耦合系统振动的直接激励源。轧机因采用晶闸管整流及直流调速等原因造成谐波严重超标，以三相可控桥式整流电路带电动机负载为例(如图1所示)，分析整流输出电流谐波分量产生的电磁转矩对轧机振动特性的影响。

其中，根据直流电动机原理，电动机输出电磁转矩 与电枢电流 成正比，即：M1=C id (5)式中：c 为电动机转矩常数。

由晶闸管变流技术可知，三相全控整流电路输出电枢电流 i 为：id=，d+∑Ijzcos(jwt—oj)J=6= 6，12，18，? (6)式中： 为直流分量； 为第 次电流谐波分量幅值；to为基波分量角频率；t为时间变量； 为第 次电流谐波分量的相位角。

电动机输出电磁转矩 为 ：= c +c ∑ cos(jmt— ) (7)J 6式中：C ∑ IjzcOS(fiot—oj)为电流谐波分量产生的电磁转矩。

分析触发角为零 √=6时的电磁转矩 对轧机振动的影响，通过分析计算可得： =0、 =0．06Id，则此时电磁转矩 化简为：M1=C ld+0．06C Iacos(6tot) (8)将式(8)代人式(4)，可得到综合考虑轧机主传动系统机械摩擦及电流谐波因素的轧机主传动机电耦合系统的数学模型，如方程式(9)：+(C1一m1)0+m30 +K0=C ，d+0．06C I~cos(6tot)一 一m0 (9)由于c —M2一m。为定常值，不影响系统的动1032013年第10期 现代制造工程(Modem Manufacturing Engineering)态特性，所以忽略掉。则轧机主传动机电耦合系统模型为：J 0+(Cl—m1)0+m30 +K =0．06C Idcos(6∞ ) (10)假设 丁= 。t，其 中09。为轧机固有角频率， 。=何 ，并且令：6to=09 ， = ／oJ。， 为轧机主传动机电耦合系统谐波角频率，(c。一m。)／J= ，m ／J=p ，0．06C ISJ=厂 ，从而可将式(10)化为：+(E) 日+0【 0+p 0。= c0s( 丁) (11)假设式(1 1)是弱非线性系统，将非线性项移至方程式(11)右边，并将参数表示为小参数 8的形式，并令 0= ，80t=Ot ，印 =p ， =厂 ，则式(11)变为：互+ 02 =一oOt 一印 +乞 0s( ) (12)由非线性振动理论可知，非线性振动系统可能导致多种共振现象，如内共振、主参数共振和倍共振等。下面主要讨论在击一 。时的情况，即主参数共振隋况。

2 轧机主传动机电耦合系统主参数共振分析为了采用多尺度法对式(12)进行主参数共振分析，假设 为小参数，设 与 之差与小参数 同量级 ，即：∞= n+6"0r (13)式中： 为调谐参数。

方程式(12)可改写为：互+(￡J02 = {一 一P +fcos[(cD0+etr)z]}(14)根据多尺度法的思想 ，要对轧机主传动机电耦合系统中时间尺度进行细分，引入一些越来越慢的时间尺度 =E"t，n：0，1，2，?，并且认为这些时间尺度是独立变量，即 To=t，T1= ， = 2t，?，则 (t， )为各时间的函数，可写为：( ，占)=∑on (To，T 一， ) (15)式中：m为小参数的最高阶次，取决于计算的精度。

设式(14)的解为：= o( ，T1)+ l( ，T1) (16)(t， )对 t的导数变成了关于 的偏导数，则展开形式为：d ： Do+sD1+．．。+,~mo
m Dn (17)l2= D +2eDoD1+ 。(D +2D0D2)+．· (18)】04式中：D 为偏微分算子符号，定义 D m=0m／0 。

将式(16)、式(17)、式(18)代人式(14)，展开后令式两边 8的同次幂系数相等，得到各阶近似偏微分方程式(19)、式(20)：D20 0 + (【J20 o=0 (19)D2ox1 + 02 1=一2D0D1 0一 D0 0一p(Do o) +os(∞0To+o'T1) (20)则方程式(19)的解为：( ，T )=a(T )COS[ 。To+ (T，)]=A(T1) 。+C (21)A(T )； t (22)式中：a(T。)为系统幅值； 为相角；cc为前一项的共轭函数。

将式(21)代入式(20)得：D + 02 =一E2j,o。(D A+— —A)+ A]×0 + A e 。 +／ (o~oTo+o-TI)／2+CC (23)式中：A为A的共轭函数。

消除式(23)中的久期项，须满足的条件为：。(D A+詈4)+ pA A一÷ =o (24)将式(22)代人式 (24)，分离它的实部和虚部得到：=一 - ti p口3+。。 =一 f c。s(一 卢)这就是一阶近似解式(23)的慢时变振幅和相位应满足的微分方程。

假设引入：=trTl一卢 (26)则式(25)转变为相应的自治微分方程：= 一号n一筝口3+ sin+ cos(27)(28)为了确定式(27)对应稳态运动的定常解振幅 a和相位 ，令式(27)中D a=0，D =0，得到：张瑞成，等：基于谐波干扰的轧机主传动机电耦合系统参激振动机理研究 2013年第 10期詈+攀。2= sin一 cos将式(29)两边同时平方后消去 ，就得到振幅 a与调谐参数 的对应关系：[(詈+ a2) +0-2 =( ) (30)将式(13)代人式(3O)就得到系统的频率响应方程 ：[(詈+ a2) +( 口2=( 31)将式(27)在(a， )处线性化，则形成关于扰动量△口和 △ 的微分方程：詈+ a2)Aa+ -f-cosDIA~=一( cos )△口一 sin利用式(29)消去式(32)中的 ，得到特征方程：(詈+ 口 ) 口 ]l 一詈 詈+ 。 )J(33)式中：A为矩阵式(33)特征根。

展开式(33)行列式得到：A +NA+M =0 (34)=等2+ 3o／∞ 2口2+ 27∞4oJ9 。4+ 2N =Ol+3 0p2口 ／2当N>0时，由稳定性分析得到定常解失稳的条件为： <0，即失稳条件对应于幅频响应曲线有多值解 时中间的一支解3 系统主参数共振分析仿真在轧机主传动机电耦合系统中，通过谐波角频率的变化，可以观测到该系统具有不同的振动特性。

为了用数值方法对轧机主传动机电耦合系统的主参数共振现象进行分析，根据某轧机实际物理参数值，取下列参数的近似值分别为E3]： 。=1．2，0[=0．8，P=0．4 =0．94， ：0．02。

利用 MATLAB软件，依据上面的参数值及频率响应方程式(31)，在主参数共振情况下，可以绘出系统频率响应曲线，如图2所示。显然，在参数激励情况下，逐步改变谐波角频率 可以引起非线性系统振幅的跳跃，当谐波角频率 接近或等于轧机固有角频率。 时振幅最大。

＼ 鞲螺}l{}O 0．4 0．8 1．2 1．6 2．0谐波角~ D／Irad s。)图2 系统频率响应曲线然后对非线性方程式(12)进行求解，用 MATLAB程序绘制系统谐波角频率 接近轧机固有角频率 。

时相应的相平面图和庞加莱截面图、分岔图、Lyapunov特性指数图。

根据非线性系统振动与混沌运动的理论可知：相平面图为闭合线，说明运动具有周期性；相平面图比较杂乱，使人不能区分是周期运动还是非周期运动。

当 Poincare截面只是 1个或少数不动点时，轧机主传动机电耦合系统的运动具有周期性；当 Poincare截面是 1条闭合曲线时，该系统的运动具有准周期性；当Poincare截面是一些成片的点集时，该系统的运动是混沌的。

图3所示为轧机主传动机电耦合系统不同 值下的相平面图， =0．8时的相平面图为一闭合线(见图3a)，说明系统作周期运动，但不能判断是否为准周期运动，需要庞加莱界面的验证。 ：1．18时相平面图轨线比较杂乱，最后收敛于外在的极限环，非线性特性比较明显(见图3b)。

图4所示为轧机主传动机电耦合系统不同 值下的庞加莱(Poincare)截面图。根据 Poineare截面定理可判断出图4a所示的运动形式是准周期性，图4b所示为一片点集，该系统发生了}昆沌运动。

图5a所示为轧机主传动机电耦合系统通过逐次改变谐波角频率的大小，而得到的 随谐波角频率在0．000 5～5之间变化 的分岔图，从 图 5a中可以看出， 在[1．1，1．3]时发生了接近于轧机固有角频1051 O O O O 2013年第 1O期 现代制造工程(Modem Manufacturing Engineering)。

。

i 。

一 。

詈 。

一 O106x×10—0／rada)西=O．8b) 面=1．18图3 相平面图2x×10一。／radb I 1．18图4 Poincare截面图率 ∞。的主参数共振。然而，由于分岔图无法判断系统是否出现了混沌振动，所以计算最大 Lyapunov指数分析，如图5b所示。

窖＼ }磐馨啦蹲难●O．1趔0．00A 杂 0．0堪谐波角频率 ／(rad·s。)a)分岔图谐波角频率西／(rad·s 1)b)最大Lyapunov指数图图5 分岔图和最大 Lyapunov指数图从图5b所示看出，当 大于 0小于0．820 5时，对应的最大 Lyapunov指数等于零，系统的运动形式是周期运动；当 逐渐增加，且 大于 0．802 5小于 5时，对应的最大 Lyapunov指数大于零，系统作混沌运动；当 等于0．802 5时，系统处在周期运动到混沌运动过渡的临界状态。

由上面可见，轧机主传动机电耦合系统由于受到谐波角频率 的影响，振动系统的运动形式从准周期运动逐渐过渡到倍周期分岔，最后进入混沌运动。

4 结语新轧机主传动系统机电振动是一个多学科交叉的领域，也是我国大型连轧机技术改造所面临的新课题。综合考虑轧机的机械系统和电气系统等因素，建立了轧机主传动机电耦合系统的模型。并针对该模型在电流谐波扰动的影响下有可能出现的多种非线性振动特性，进行了一些研究和探讨。研究结果表一H_s-p l／叩0．【× p／芎 一H_s．p1 一＼叩0 ×_lp／ s． BJ一＼ 0-【×张瑞成，等：基于谐波干扰的轧机主传动机电耦合系统参激振动机理研究 2013年第 10期明，谐波角频率 是影响该系统非线性振动特性的重要因素。随着谐波角频率 的变化轧机主传动机电耦合系统从周期运动逐步过渡到混沌运动。当该系统不稳定而出现混沌现象时，应该给予足够重视并提出相应的机电振动控制措施。这对轧机主传动系统的稳定运行及提高安全性、可靠性有着重要的意义。

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作者简介：张瑞成，副教授，博士，从事轧机机电振动控制、轧钢 自动化、机电耦合系统动态特性分析与控制等研究。

E-mail：rchzhang### yahoo．con．cn收稿 日期 ：2012—11-05(上接第 72页)具有创新l生的设计 ，通过前期的实验研究也证明了它的有效性。它为干法气力输送泥屑奠定了技术基础。

通过对新型碎泥屑钻头在工作过程中的受力分析与公式推导，建立了碎泥屑钻头的力学模型，从而为优化钻头参数和干法气力输送非开挖钻孔机器人的结构设计与计算奠定了理论基础。

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作者简介 ：李小平，副教授，主要研究领域为机电一体化等。

E—mail：lxpcxy### 126．con收稿 日期 ：2012-10—19107